高等数学十分钟：第三个馒头

(山路水桥  http://blog.sina.com.cn/m/slsq)

我们知道微分中值定理中的四个定理中前三个是：（1）罗尔中值定理；（2）拉格朗日中值定理；（3）柯西中值定理，他们之间是有密切联系的。

（2）是（1）的推广，是（1）的更一般的表达形式。反过来，我们可以说（1）是（2）在f (a) = f (b) 时的特例，甚至还可以说（1）是（2）的一个“推论”。

类似地有：（3）是（2）的推广，是（2）的更一般的表达形式。或者，把它反过来，我们可以说（2）是（3）在g (x) = x 时的特例，甚至还可以说（1）是（2）的一个“推论” 。

注意，我们这里所说的“推论”是加引号的，看起来好像“罗尔中值定理是可以用拉格朗日中值定理来推导的”，而“拉格朗日中值定理也可以用柯西中值定理来推导的”。那么我们为什么还要那么费力地把一个一个中值定理推出来呢，不是只要有一个柯西中值定理就够了吗？

其实这两句话不可以那么讲的。

首先在一般教材上，我们都是利用罗尔中值定理的结论来证明拉格朗日中值定理，怎么又能用拉格朗日中值定理来推导罗尔中值定理呢？这是不符合逻辑的，犯了循环论证的错误。

其次柯西中值定理的证明，确实是没有用到拉格朗日中值定理的结论，所以说“拉格朗日中值定理也可以用柯西中值定理来推导的”在逻辑上是站得住脚的。但是从认识论的角度看，这是违背了人们对自然界（包括对数学理论）的认识规律，人们总是先从初级的、特殊的、个别的开始认识，然后逐步进步到对高级的、一般的、普遍的概念的认识。而且我们还可以注意到，柯西中值定理是由参数方程所表示的函数的拉格朗日中值定理，所以，还是应该先有拉格朗日中值定理的结论，再有柯西中值定理较为妥当。

这就好像一个人吃了三个馒头饱了，他认为第三个馒头是吃饱的关键。后悔没先吃第三个馒头，否则，只要吃一个就饱了，可以省下另外两个。

本篇写得不太好,另外两篇文章更精彩：

（1）高等数学十分钟：如何认识抽象函数

http://blog.sina.com.cn/u/4aa977290100062y

（2）高等数学十分钟：从电影“永不消逝的电波”得到的启示

http://blog.sina.com.cn/u/4aa9772901000604