2．教学的主要建议
（1）重视图形分类的价值
图形分类不仅仅在数学中是非常重要的，而且通过分类活动，学生可以不断体会图形的特征。因此，在图形的认识的教学中，教师应重视图形分类的价值。
以前，教师往往会在图形学习完以后，在复习整理阶段进行图形分类的活动，当然这还是非常重要的。实际上，在图形性质探索的初始阶段，也可以安排图形分类的活动，鼓励学生在尝试对图形进行分类的过程中去关注图形的边、角等的特征。对此，我们的一位老师作了有益的尝试，感兴趣的老师请参见拓展资源2。
下面再提供一个低年级渗透图形分类的教学案例：
准备下面的一些物品或类似的东西：一个橘子、一条肥皂、一罐牛奶、一顶生日帽、一个楔子。引导学生借助操作思考下面的问题：
哪些东西可以滑动，哪些东西可以滚动？
哪些是平的，哪些是曲的？
哪些有直的边？哪些有曲的边？
哪些面是方形的？
哪些面是三角的？
哪些面是圆的？
哪些有点或角？哪些没有？
总结一下，教学中，教师可以从以下几个方面引导学生对图形进行分类：
第一，将图形分成平面的和立体的；
第二，将平面图形分成直的和曲的；
第三，将多边形按照边、角等图形的特征进行分类。
（2）重视在运动中认识图形
特别希望老师们能鼓励学生把静态和动态结合起来，鼓励学生在运动变化中，去观察认识图形及其特征。老师们也有这个感觉，有的图形按照标准位置放，学生们就能认出来，换一个角度学生就不认识了。教学中，教师就可以将图形转一转、移一移、翻一翻，使图形动起来，帮助学生认识图形变化中不变的特征。这部分内容还将在图形与变换中进一步涉及。
（3）重视从复杂图形中辨别基本图形
鼓励学生能够从复杂图形中辨别一些基本图形，发展识图能力。比如对于长方体直观图中长宽高的辨认，学生往往存在着困难，这里有一个教师的好的做法。他首先画一个长方体的直观图，然后问学生说：擦掉一条边，你们能不能把这个长方体还原。逐步的擦去长方体的某些边，只剩下了这个长方体的长宽高时，学生发现不能再擦了，再擦就还原不回原来的长方体了。于是，在这个过程当中，学生不但感受了长方体的特征，同时加深理解了长宽高。
（4）恰当的运用标准图形和变式图形
对于这一点，老师们都有了很好的做法，这里就不赘述了。
（5）重视观察、操作、想象、推理、表达之间的结合
在图形的认识和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动，这也是小学几何跟中学几何学习的一个区别。这些活动呢，既包括学生的观察活动，也包括学生的操作活动，比如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象活动。当然，还包括一些非常简单的推理，以及对图形及其特征的表达。教学中非常重要的一点，是能将观察、操作、想象、推理、表达进行有机的结合，既认识到它们各自的价值，又能在一些活动中把它们结合起来。我们来举个例子，比如说对于长方形特征的探索，教师可以首先鼓励学生观察，提出一些猜想：它的两个对边相等……。在此基础上，教师可以鼓励学生运用操作对猜想进行验证。最后，教师还可以鼓励学生用自己的语言表达出长方形的特征。
这里需要强调的是学生动手操作的重要性。学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建造模型、分类等活动，对图形的多方面性质有了亲身感受，这不仅为正式地学习图形的性质奠定了基础，同时积累了数学活动经验，发展了空间观念。亲身实践远比只是看一下要获得远远多的对图形的“洞察”。总结一下，操作的价值主要体现在以下几个方面：第一，操作是探索图形性质的有效手段。第二，操作可以对通过观察等得到的猜想进行验证。第三，操作可以加深对图形及其性质的理解。比如将长方形对折，发现长方形对边相等，实际上学生也进一步体会长方形的轴对称性；又如，画的活动非常有助于学生在头脑中建立图形的表象。
在动手操作中，也不要忽视推理的价值。虽然小学阶段不要求学生进行严格的证明，但是不代表孩子没有推理的意识。而且推理还能够帮助我们解决操作中出现的误差。比如前面讨论过的“两边之和大于第三边”教学中，由于操作中的误差，造成了当两边之和等于第三边时，学生“拼出”了三角形。面对这一情况，最好的解决方法是借助一些推理。其实，学生也有这个意识，比如有的学生说得非常的形象：4+5=9，9与9都平行（重合）了，拼不成了。有的学生可能会根据“两点之间线段最短”来说明等于的时候是拼不成的（三角形三边关系的课堂实录见拓展资源3）。关于这个问题，我曾经请教过王尚志教授，他是一个数学专业工作者，也是课程标准的制订者，他就提到了“两点之间线段最短”，这实际上也是一个非常重要的公理，进一步，他提供了一个如何教学“两边之和大于第三边”的思路，供大家思考：首先通过具体情境使学生认识到“两点之间线段最短”，然后画出两个点，两点之间画一条线段和若干条折线。实际上，折线与两点之间的线段就形成了一个一个的三角形。接着鼓励学生思考，如果把它们看成一个一个的三角形的话，你能发现什么，即“两边之和大于第三边”。
还想在这里强调的是，教师还要注意鼓励学生在操作中积极思考，否则缺乏思考的盲目操作会造成操作的无效性。为了说明问题，下面介绍一个老师设计的三角形内角和的练习活动：
老师撕了4个不同的三角形,分别为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和不等边三角形，得到了12个角，分别为60度、20度、80度、110度、40度、90度、60度、50度、70度、60度、50度、30度。这四个三角形每个角分别是多少度？
在解决这个问题的过程中，学生不仅要应用“三角形内角和是180度”的结论，并且学生要思考从何下手比较合适。
操作的价值:
——探索图形性质的有效手段；
——对通过观察等得到的猜想进行验证；
——加深对图形及性质的理解；
——可以将操作与推理等有机结合。
（6）注重图形之间的联系
教师还应重视在图形及其性质之间建立联系。学生学习的时候是分散的，这就需要老师以适当的形式把分散的内容串起来。下面的两张表是周玉仁教授提供的有关图形性质的两个表：
表1
表2

●学习体会
【教学过程1】：放手让学生探索如何由“立体图形”得到“平面图形”。在学生讨论如何得到长方形时思维十分活跃。除了想到用长方体一个面印在沙盘上的方法外，还想到了用三棱柱的一个侧面或通过圆柱体侧面在沙盘上滚动、将圆柱体侧面向沙盘内用力挤压等不同方法得出长方形。由于学生动手操作时间充分，所以后半部分教学十分仓促，练习也只能草草收场。
【 教学过程2】：
从拼成的“船”的平面图形进行分类；
认识长方形、正方形、三角形、圆；
从立体图形到平面图形；（指定从长方体上找到长方形，从正方体上找到正方形，从三棱柱上找到三角形，从圆柱体上找到圆形）
寻找生活中“存在”的平面图形；
拼图游戏：用若干个平面图形拼图。
【片段分析】
对于以上两种不同的教学方法，张丹教授在分析中指出“空间观念中有一个重要的方面就是三维和二维的转化。从立体图形中找到平面图形，从平面图形中去还原立体图形。过程1给了学生比较充分地操作和探索空间，使学生感受从立体到平面的过程，从这一点来说，过程1还是非常有价值的。”下面我也想仅从三维和二维的转化这一空间观念方面谈谈个人的一些想法：
1、谁的教学有效果？
过程1中，教师给学生提供了开放性的数学问题，让学生充分地在操作中去探索、发现立体图形中能找到哪些平面图形。由于时间充分，所以学生除了得到教师预设的一些方法外，还想到了圆柱体的侧面展开图是长方形、圆柱的侧截面是长方形等。过程2的这一环节由于是教师明确指定操作要求，因此学生的观察、探索思维空间狭小。从有效这一方面而言过程1要优于过程2。
2、谁的教学有效率？
过程1为了让学生有充分的时间操作、体验、发现立体图形中能够找到平面图形耗费了近20分钟，以至于后面的练习只能草草收场。而过程2由于各教学环节时间分配较为合理，所以学生不仅从立体图形中找到了所需要认识的平面图形，还用数学的眼光发现了大量存在于生活中的平面图形，通过拼、找、画等手段，使学生直观感受到平面图形的特征。从单位时间的收效来比较，过程2又要优于过程1。
3、如何实现既有效，又高效？
是否可以综合以上两种做法达到既有效又高效呢？我想只需对过程1的提问或者说是操作要求略做修改即可实现。如果教师不是让学生用立体图形在沙盘上得到平面图形，而是要求他们在纸上得到平面图形的话，孩子们的方法可能会想到炻印或炻画的方式，那么这时的研究会更加突显出“面在体上”这一教学难点，而且用炻印（画）的方法也能很好地避免一些非本质属性的干扰。
虽然评课中也有些教师提出“学生发现用圆柱侧面滚动的方法得到长方形这一做法能够为高年级学习圆柱的侧面积作一定的铺垫”，但我们可以看出这一知识点并非本课所需要研究的重点，为了实现教学的有效与高效，所以适当的“舍”也是有必要的。