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(2015-06-21 21:52:42)
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为什么上课都能听懂题却不会做？
作者：徐超君
知乎上曾经有个问题，是问老师上课的时候讲的内容都能听懂，但是却不会做题，这到底是什么原因。
这是被很多中学生所反映的问题，也是老师比较头疼的问题。
这个问题让我想起了知乎上的这么一个段子：“人家都说2010年高考卷难，其实一点都不难，因为他们没看透题目。”说罢，（葛军）在黑板上写了个不定方程http://s11/mw690/001mEJLpgy6T7560DeW3a&690，除到右边，现在谁都会了吧。”全场汗颜。
虽是戏言，却很真实。实际上，从上课时的知识讲解和例题分析到做题，有一个层层递进的过程，甚至这个过程是非常漫长的。
这个过程到底是怎样的呢？其实很简单，就两个字：模仿。是的，就是模仿，从http://s4/mw690/001mEJLpgy6T75eSQw363&690的过程，就是模仿。
1
高中数学教材里的知识结构有三种：线性结构、树状结构和网状结构。
线性结构，其实指的就是一条线到底的结构。一个定理贯穿一整条线，组成了一条串行的链。
树状结构，属于多个线性结构汇集在一起的情况，这些线性结构是并行的。
网状结构，指的就是定理之间有着非常复杂的网状的关系，这种结构把无数条链编织在了一起，任意两条线之间，几乎都无法直接确认是并行的还是串行的，因为几乎任意两个定理之间都会有联系。
当然了，由于互相并行的量条线之间也可能会有交集，所以这三种结构不一定是彼此独立的，很可能会出现三种结构都结合在一起的情况。
那么，所谓的模仿，指的是模仿什么呢？其实还是可以从之前拿来举例的不等式讲起。
学习基本不等式的时候，老师会推导出http://s3/mw690/001mEJLpgy6TdsR4vvQa2&690）这个式子。这个时候，学生了解了这个定理，觉得自己理解了。然后，老师会在黑板上给出一个例题：
（1）若http://s2/mw690/001mEJLpgy6TdsV0Nd7c1&690的最小值。
有的时候，老师还会给出这样的题：
（2）若x＞0，求http://s16/mw690/001mEJLpgy6TdsXpZGT7f&690的最小值。
这是对定理的第一次变换。这样的变换，本质上仍然是探求两个参数之和的最小值，只是a变成了2a（或x），b变成了8b（或http://s9/mw690/001mEJLpgy6Tdt1LYk888&690），所以同学们仍然能够解开。
这种题非常基础，但也会在高考题中出现：
（3）（2009湖南卷·文）若x＞0，则http://s15/mw690/001mEJLpgy6Tf0M1y58fe&690的最小值为_____。
于是，老师进一步加深难度，写出了这样的例题：
（4）若x＞1，求http://s9/mw690/001mEJLpgy6Tf0SszkQ58&690的最小值。
这道题其实仍然是求两个参数之和的最小值，无非是把a变成了x-1、把b变成了。鉴于对之前两道例题的观察，大多数同学已经能明白，两个相乘之后积为定值的数字，其和的最小值是和这个定值相关的。实际上，从第（1）题到第（4）题的过程，仍然是简单的模仿。
有的时候，在这个阶段，老师会把原先的题目加一层套，把原先的结论再运用到新的题目中去，比如：
（5）若a＞0且b＞0，ab=4，求http://s10/mw690/001mEJLpgy6Tf0WmZSN69&690的最小值。
其实这样的题目并没有什么创新，只是把结论当成了新的条件进一步求解罢了。在这道题里，a和b只是变成了指数而已。
第（5）题还有一种变化的形式：
（6）设x，y∈R，且x+y=5，则http://s7/mw690/001mEJLpgy6Tf1fzg0K66&690的最小值是（
A.10
接下来，题目就完成了一次与之前完全不同的变化。
（7）若x＞1，求http://s14/mw690/001mEJLpgy6Tf1o5bK5cd&690的最小值。
看上去第（7）题和第（5）题的形式很像，只是少了一项-1，这一项只要添加上去再减掉，就将题目用第（5）题的求解方法进行求解了。但是，从这道题起，模仿的方式变了，不再是两个相乘为定值的参数的直接相加了，而是加入了一些变换，先变换题干条件为与第（5）题类似的形式，再进行求解。从本质上说，两者有一定的区别。
第（7）题的形式还可以继续变换，把第（7）题与第（1）题进行结合，可以给出这样的一个问题：
（8）若x＞1，求http://s4/mw690/001mEJLpgy6Tf1qE7fB63&690的最小值。
纵观这8道题，第（1）题~第（6）题，都只需要对公式的直接模仿、套用，即可进行求解，这是模仿公式的第一层境界；第（7）题~第（8）题，需要对题干的条件进行一下处理，变换出能直接套用公式的形式后继续求解，这是模仿公式的第二层境界。
当然了，无论是模仿公式的哪一层境界，都可以像第（5）题这样可以在题目上套一层结构变成新题，这种题只要把旧的结论变成新题的一个条件进行运用即可，并非真正在命题上的创新。第（5）题只是直接在运算上加了一步，这种直接增加运算步骤的题也很常见。
（9）（2009重庆卷·文）已知a＞0，b＞0，则http://s5/mw690/001mEJLpgy6Tf1t3ZLS64&690的最小值是（
A.2
这是一个多步骤求解不等式的题，在求解这种用多个不等号连接数个式子的题时，一定要注意不等号的成立条件！
但是，许多题是在此基础上与其他章节的内容进行嵌套的，比如以下这题：
（10）（2009天津卷·理）设a＞0，b＞0，若http://s11/mw690/001mEJLpgy6TfgnI6825a&690的最小值为（
A.8
在《按点展开解法》里曾经说过：复合条件题往往是沿着核心点将题目的条件未知化扩展出来的题。其实在这道题里，命题者只是利用等比数列的特殊性将条件http://s15/mw690/001mEJLpgy6TfgBVfKm3e&690的等比中项”这一条件，条件的本质仍然和第（5）题的题干类似。
（11）（2011宿州模拟）已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，若xy≥m-2恒成立，则实数m的最大值是_____。
这道题则是把不等式与方程联系了起来。实际上，这是将二元条件（x与y）转化成一元条件（xy）的过程，本质仍然是将不等式的结论与方程进行直接嵌套。
第（9）题~第（11）题，看似已经有了很多变化，实际上只是把基本不等式作为其中的一个解题步骤放在了其他章节的内容里，本质仍然是第一层境界（模仿）和第二层境界（变换后模仿）之中。
网上经常有对于天赋与勤奋的讨论，我觉得，在这里也可以这么归纳：对于天赋比较好的同学而言，由于思维能力比较强，头脑中有一套非常好的信息处理方式，他们可以在看到这个定理后触及到了关于这个定理的种种变化，所以不需要做太多题也可以把定理理解得相当透彻，所做的少部分题，也是用来验证之前根据该定理所发散出来的思维体系的；对于天赋不好但是比较勤奋的同学而言，直接根据定理理解这么多内容可能比较吃力，于是他们通过把第（1）题~第（11）题解一遍，不断试错和修正，从而把关于这个定理的方方面面都掌握明白。
天才所依赖的效率，可以用普通人所依赖的勤奋来弥补，这是勤能补拙的道理。实际上，上课都能听懂而题却不会做的原因，就在于有的时候老师只给你讲了http://s8/mw690/001mEJLpgy6TfgKZAOz07&690）这个定理（可能还顺带讲解了几个简单的例题），却给出了一系列关于这个定理的难题，这些难题往往需要进行变换或者和其他知识进行“互动”才能求解。
从第（1）题到第（11）题，所有的不等式运用，仍然局限在http://s5/mw690/001mEJLpgy6TfhbFHzmc4&690）是一个定理的两种用法，所以，两条线性结构是完全并列的。从一个定理所推出的不同的公式，或者数个互不相干的定理所推出的公式归纳在一起，就组成了树状结构。
其实，对数学的运用，就在于对公式的顺用与逆用。大部分时候，顺用比逆用要简单，因为人的思维惯性就是顺用公式的。
举个例子，比如这么道题：已知不等式ax²-5x+b＞0的解集为http://s9/mw690/001mEJLpzy6TfhstxfG48&690，求实数a、b的值。
顺用公式，那么我们用Δ法求解（用配方等方法也是可以求解的），发现若令f（x）=ax²-5x+b，则由于f（x）＞0的根的特性，a＜0，该方程的两根分别是http://s4/mw690/001mEJLpgy6TfhzDh2X13&690，故可以求解出a=-12，b=2。
逆用公式，则是根据ax²-5x+b＞0http://s9/mw690/001mEJLpgy6TfhQxDTi58&690＜0，整理可得，-12x-5x+2＞0，即a=-12，b=2。
实际上，顺用和逆用，始终是对数学教材上定理运用的两方面重要内容。所以，每当想到运用一个公式进行求解的时候，同学们应当想想是否可以对公式进行逆用。只有把顺用的线性结构和逆用的线性结构都打通，才算是吃透了定理的本质。
当有同学突破第三层境界进入第四层境界了的时候，那么他们就会发现这本质规律之后的命题规律。比如，根据不等式的不等号两侧有一方为定值，可以将等差数列或者等比数列的性质糅合在其中，又或者将不等式与韦达定理相契合，乃至将众多其他定理囊括入其中。到了这一层境界的同学，已经可以站在命题者的立场上去想问题，并且通过问题的本质对习题的结构进行多重变换。
2
以上所阐述的，实际上只是线性结构知识点的学习规律，虽然可以将这种规律移植于树状结构（树状结构是若干个线性结构的并行），但是并不完全适用于网状结构的知识点。
什么样的知识结构是网状结构的呢？三角函数的知识结构就是接近于网状结构的。
不同的角转化为某个区间内的角要用到诱导公式，把角度变为原来的二倍（或者二分之一）时求新角度的三角函数要用到二倍角公式（变为二分之一时逆用这个公式），而同一个角之间不同函数名称的转化则是同角三角函数公式来变换关系，这些同角三角函数的关系蕴含在下图中：
http://s8/mw690/001mEJLpgy6TfhRq97h87&690
在三个蓝色倒三角中，上两个顶点所代表的函数值的平方和等于下顶点所代表函数值（或实数1）的平方；六边形对角线两顶点的函数值乘积为1每个顶点代表的函数值等于相邻两个顶点代表的函数值的乘积。
尽管在知识的讲解上，可能每一章的内容都是接近平行的，但实际上，在习题的求解上，这一系列公式之间组成了一张非常庞大细密的网。这个时候，尽管一道习题单用一类甚至一个公式即可解开也是可能的，但更可能是串起来较多的公式进行求解，那么，就无法直接通过对一个公式的简单模仿进行学习。此时，应该转变思路，对习题本身的解析过程进行分析与归纳，研究每一类公式用于何种用途。
我们来看内容比较单纯的一种题：
（1）若Θ∈（0，http://s1/mw690/001mEJLpgy6TfibemnS60&690），求证：sinΘ＜Θ＜tanΘ。
这道题很简单，整个解题网络也很清晰，就是设置一个角Θ，通过三角函数的定义来论证sinΘ、Θ和tanΘ之间的关系。
（2）求证：http://s13/mw690/001mEJLpzy6TfitTfDCec&690。
这道题有三种解法，一是拿出左式分子分母同乘以cosΘ，证出左式与右式相等；二是拿出右式分子分母同乘以1-sinΘ，证出右式与左式相等；三是转化思维，用1-sin²Θ=cos²Θ直接推断到所要证明的式子。相比较而言，第一种证法、第二种证法都是顺用题干的条件证明的，第三种证法是逆用题干条件证明的，近乎直接验证。怪不得曾有先贤说过：验证一个问题的正误比求解一个问题要容易得多。
（3）化简：http://s16/mw690/001mEJLpgy6Tfic6Oibbf&690。
观察这道题，我们会发现，题中除了1就只有cosΘ和sinΘ两种参数，很显然，我们应当根据同角三角函数关系把1转化为与这两个参数相关的算式。
这里，我们发现：根据同角三角函数关系，1既可以变成与sin²Θ+cos²Θ相关的参数，也可以变成与sec²Θ-tan²Θ相关的参数，还可以变成与csc²Θ-cot²Θ相关的参数。当然，观察题目的形式，我们可以知道，只有第一种方案是有效的。这也是三角函数类题目比较多元化的原因，因为有很多种方式都可以用来运算，但是能做出结果的方式往往并不多。
与第（1）题、第（2）题不同，这类题给人的感觉是解题网络并不清晰，但是第一步如何迈出却很清晰。面对这一类题时，首先只能想到大致的方向，再根据对题干条件的观察模仿公式的运用。
第（1）题由于角所在的位置比较特殊，也不存在对三角函数值的精确计算，所以并不需要探讨三角函数的正负性，而第（2）题和第（3）题都只涉及三角函数间的关系，所以只要通过直接计算即可解出。但是，某些时候，由于题目本身要求对三角函数间的精确计算，所以会需要探讨三角函数的正负性。
（4）若sinα=http://s4/mw690/001mEJLpgy6TficREZ583&690且α、β为锐角，求α+β的值。
此题其实只是简单地套用了和角公式，但应注意的是，此题的一种错误解法是用和角公式计算出sin（α+β）=http://s3/mw690/001mEJLpgy6TficTXDs82&690，然后根据α与β都是锐角而解出α+β=45°或α+β=135°。实际上，根据锐角正弦函数的单调性可知，α与β都是小于30°的角，故两者相加不可能等于135°。此题应当用余弦函数的和角公式来求解，这样，通过余弦函数在（0，π）上的正负性变化规避用正弦函数所带来的多余的解。
三角函数问题，还可以和方程相结合：
（5）已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=http://s10/mw690/001mEJLpgy6TficWB2V39&690，求tanα的值。
此题只需要解开sinα和cosα的值，再求解出tanα的值即可。
（6）已知Θ∈（0，2π），而sinΘ，cosΘ是方程x²-kx+k+1=0的两实数根，求k的值。
此题要注意三角函数的有界性，故要舍去多余的根。实际上，关于三角函数的方程问题，必然同时要考虑到方程的性质和三角函数本身的性质，这样，才能把方程的根本身与三角函数联系起来。
有的时候，方程甚至是自己根据三角函数的特点而构建的：
（7）（2004福建卷·理）tan15°+cot15°等于（
A.2
此外，还可以将三角函数与函数思想联系起来：
（8）设f（sinα+cosα）=sinαcosα，则f（coshttp://s1/mw690/001mEJLpgy6Tfid4T0ka0&690）的值为（
A.http://s1/mw690/001mEJLpgy6Tfid7EWs60&690
此题的解法有点儿类似第（5）题，只需要通过换元思想解出函数的解析式再代入自变量即可，并不需要对三角函数的有界性或者角度大小进行探讨。相对来说，下面这题则需要对三角函数的有界性进行探讨：
（9）函数y=cos²x-3cosx+2的最小值为（
A.2
实际上，此题仍然可以被换元为单纯的函数问题，但是，在求解的过程中，要考虑三角函数的有界性。
3
简单地总结一下，数学的逻辑，实际上就是对定理的模仿使用。在模仿的过程中，我们可以通过不断复杂化要求解的问题及条件来加强模仿的能力，然后通过在脑海中建立数据之间的关系而不断将不同的定理联系起来，最终达到融会贯通的水准。而在此之上，我们甚至还可以对定理的本质进行探索，进而推断出可能的命题方式，站在一个猜题的高度来看待我们所求解的各种问题。
对于线性结构、树形结构的知识体系，我们应当沿着每一个单独的线性结构进行模仿，然后再寻找不同线性结构之间的关系，将知识点联系起来。而对于网状结构的知识点，我们应当尝试着不断观察知识点之间的联系，然后在模仿公式的过程中直接尝试联系散在的知识点。
http://s13/mw690/001mEJLpzy6Tfjoh2he0c&690
http://s8/mw690/001mEJLpzy6TfjojJ67f7&690
http://s9/mw690/001mEJLpgy6TfjutAIo28&690
http://s10/mw690/001mEJLpgy6Tfjuw9yp39&690
http://s15/mw690/001mEJLpgy6TfjuzkuO6e&690
http://s5/mw690/001mEJLpgy6TfjuCaz234&690
http://s9/mw690/001mEJLpgy6TfjuFfuw18&690
http://s3/mw690/001mEJLpgy6TfjuHL4C42&690
http://s4/mw690/001mEJLpgy6TfjuqcUjc3&690
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