一维行波问题的求解及其解的物理意义的探讨
甘肃天水    WW  741000

摘要：通过对一维行波问题的偏微分方程的求解和研究，掌握一类齐次波动方程的定解问题的求解思路和方法，通过理解其解所反应的物理实际意义，加深理解数理方法这门学科在解决实际问题时的重要性。

关键词：数理方程，适定性，一维行波，半波损失。

一.引言
   1.数学物理方程（简称数理方程）是指从物理规律、物理过程和物理状态等中导出的反应客观物理量在各个地点、各个时刻之间的相互制约关系的一些偏微分方程，有时也包括常微分方程和积分方程，换言之，它是物理过程的数学表示式。从数学方面讲，它具有数学的理论和严谨的逻辑性质，而从物理方面看，它又有着广泛的实用性，因此，对于一个定解问题，若其解是存在的、唯一的而且是稳定的，我们就称它是有着适定性的，即在物理学上它是适当而确定的。
   2.齐次波动方程反应了介质一经扰动后在区域里不再受到外力作用下的运动规律，如果所研究问题的区域是无界的，则由初始扰动所引起的振动就会一往无前的传播出去形成一维行进波（简称一维行波）。故我们把这种主要适用于求解这类波动问题的方法称为行波法，本文下面将通过一个例子来介绍这种方法。

二.D`Alembert公式
    我们来考虑无界弦的自由振动，这个问题既简单又明了，更具有典型性，其定解问题为：
            

file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf

其中，φ(X)和ψ(X)均为已知函数，“无限长”的杆的自由振动问题，“无限长”的理想传输线上的电流、电压的变化规律均可提出与之相同的定解问题。
1.一维齐次波动方程的通解
      为了用行波法解决这一问题， 我们首先要求出（1）式的通解，由（1）式我们有
            

file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf

因此，只要能够找到两个微分算子

file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf ，其中
             

file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf

  
其中，A 和 B 为常数，则方程（4）就变为
              

                   file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf

从而立即可求出其通解，为此，我们作变换
              

file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf

此时有

file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf

             
于是，方程（4）可以变为

                  file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf                  （5）
为了以后书写形式的简便和对称，我们不妨将上述变换修改为
             

              file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf            即作变换 
                

             file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf ，   file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image1.wmf       （6）
此时，（5）式显然仍成立，对方程（5）先对file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image13.wmf积分可得
              file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image14.wmf
再对上式中的file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image15.wmf作积分可得
              file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image16.wmf
其中，file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image20.wmf的函数，把变换（6）代入上式，即可得到方程（1）的通解为
              file:///C:/DOCUME~1/wildwolf/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image21.wmf         （7）