译自Glen Meeden、G. M. Prabhu著《Percentages for Bidding Games, Small Slams, and Grand Slams at Duplicate Teams》

    本文描述了一种什么时候叫进局，叫进小满贯和大满贯的决策方法。众所周知是否叫进局和小满贯取决于能够打成定约的概率。

    对于大满贯我们的方法不仅仅取决于打成的概率，还要评估对手停在局或小满贯上的可能性。

    决定是否叫进局的计算公式与摸奖的概率相同。考虑一个简单的抽奖，从装有红球和白球的盒子里随机摸出一个球，如果摸出红球赢2$,如果摸出白球输1$。

    假设P代表摸出红球的概率，那么你摸奖的概率值是多少呢？因为你预期赢得的钱为：

      2$*P-1$*（1-P），公式的平衡点为：2$*P-1$*（1-P）= 0  简化为3P=1 或 P=1/3

    通常你需要假设你赢得奖金的公式等于0作为收支平衡点，再解出P的值。

    这意味着，在足够多的摸奖中，你摸出红球的概率大于或等于1/3时，你可以不输钱。

    摸出红球的概率只要大于等于33%（我们不用正式符号而用非正式符号），你就可以赢钱。

    我们把同样的公式应用于队式赛中概率的计算。假设你在无局时叫到4阶高花，做成得420，而对手只叫到3阶高花加一得170。你赢6IMP(IMPGain)。

    如果你叫4阶高花，下一得 -50，而对手得140，你输5IMP(IMPLoss)。假设P为无局时叫高花进局的概率，那么叫进局的平衡点为：

                  [IMPGain*P]-[IMPLoss*(1-P)] = 0  简化为 11P=5 或 P=5/11（=0.45或45%）

    因此从长远来看，无局时叫45%的高花局达到平衡点。为了完整性，表1给出了无局、有局时的叫局和满贯定约所需的百分比（四舍五入），刚好做成定约的IMP值或没加倍时宕一的IMP值，不包括超墩情况。

    注意低花小满贯（48%）比高花小满贯（50%）可以更进取一些。而无将的成局和满贯定约情况与高花定约相同。

 表1   叫成局及满贯定约所需概率

大满贯叫牌

    众所周知在“可以数出13墩”时叫大满贯。在盘式桥牌中这是好方法，但是在队式赛中我们的方法给出了更乐观的前景。

    我们首先考虑无局方低花大满贯，何时停在小满贯，何时叫大满贯。假设P为大满贯做成的概率。在对手叫到小满贯的前提下，我们的方程式为：

         11P-14(1-P)=  0  或 25P-14=0  或 P=14/25

    如果对手停在局上而不是小满贯，那么做成大满贯赢得IMP值为14（1440-440=1000=14IMPs）。然而在这种情况下，你停在小满贯上可以保证至少赢11IMP。如何处理这种情况？需要计算叫大满贯的净赢IMP值，只有3IMP（14-11）。无局叫到大满贯下一而对手停在局上时输10IMPs（=420+50）.基本公式为：

         [净IMPGain*P]-IMPLoss*（1-P）=  0 或 3P-10(1-P)=0 或 P=10/13

因为我们不知道对手到底叫什么定约，我们必须评估他们停在小满贯上的可能性。假设Q为对手停在小满贯的概率。那么（1-Q）为对手停在局上的概率（我们排除对手停在局下的情况，这也是与实际情况有所差别的概率）。综合考虑对手停在局上和小满贯上两种情况，我们的无局低花大满贯的平衡公式为：

         Q*[25P-14]+(1-Q)*[13P-10]  =  0

    对于高花无局大满贯，当对手停在局上时净IMPGain为3IMP（=14-11），当对手停在局上而大满贯下一时的IMPLoss为11IMP（=480+50），平衡公式为：

         Q*[25P-14]+(1-Q)*[3P-11*(1-P)]  =  0

与其他公式不同，P值依赖于Q值。表2中给出了Q取不同值时，无局时叫低花和高花大满贯定约所需的概率。

表2    无局时叫低花和高花大满贯所需概率

    如果对手停在局上，从长远来看，你应该叫77%+的大满贯，如果对手一定会叫小满贯，你应该叫56%+的大满贯。

    对于低花有局大满贯，对手停在局上，那么做成大满贯赢得IMP值为17（2140-640=1500=17IMPs）。停在小满贯上赢13 (1390-640=750=13IMPs)。叫大满贯的净赢IMP值为4IMPs（17-13）。叫到大满贯下一而对手停在局上时输12IMPs（=620+10=720=12MPs）.平衡公式为：

         Q*[29P-16]+(1-Q)*[4P-12*(1-P)]  =  0

对于高花有局大满贯，净IMPGain为4IMP（=17-13），当对手停在局上而大满贯下一时的IMPLoss为13IMPs（=680+100），平衡公式为：

         Q*[30P-17]+(1-Q)*[4P-13*(1-P)]  =  0

表3中给出了Q取不同值时，有局时叫低花和高花大满贯定约所需的概率。

表3   有局时叫低花和高花大满贯定约所需的概率

当然，不可能总是知道打牌路线的准确概率；在实际打牌过程中尽量接近这些概率即可。

有些牌手用概率比而不用概率来评估。把我们的分析转换为概率比很容易，定义如下：

         概率比 Odds=P/(1-P),P是事件发生的概率。

我们的分析建议，是否叫大满贯应该部分基于对对手是否叫小满贯的评估。对手越可能叫小满贯，你应该越积极叫大满贯。不同Q值决定了P值从56%（对手一定会叫上小满贯）到79%（对手肯定会停在局上）之间。

    而数出13墩叫大满贯的信条在队式赛中显得过于保守，尤其是你了解对手的叫牌方式和体系时。这里给出的方法没有考虑其他诸如比赛形势等其他因素，因为没有办法模型化和量化其他因素。

    当你想叫大满贯时，最好慎重考虑下诸如3-2分布的概率（68%）或两套中有一个是3-3（59%）分布，或者需要在3-3或4-2分布时建立5-2长套，或者在4-3分布（62%）时建立5-1长套等等的概率。你应该避免叫到一个两飞一中的大满贯。虽然概率高达75%，但是你可能会先飞错，在大满贯中，飞错就宕了，因为其他飞牌与此无关。

     从结论上说，84%的大满贯总是要叫的（基于3-3或4-2分布），当对手有可能叫小满贯时，你应该叫68%(基于2-3分布的概率)的大满贯，当对手一定会叫小满贯时，你应该叫56%的大满贯。

     我们承认，在叫牌过程中，我们并不知道对手叫品的可能性有多大。

     我们给出队式赛数学概率的两条说明。

Bob Hamman的满贯简单法则:“能够打成的满贯是好满贯”。

Prabhakar Balakrishnan的进局法则：“一手有一些打法的牌，其数学概率可以降低，尤其是局牌，如果没有一个简单的途径击败定约，庄家具有了解联手牌强弱的优势，叫进局在IMP分数上会给对手更大的压力”。

      关于作者：

    两位作者都是ACBL终身大师。Glen Meeden是明尼苏达大学统计学院教授。G. M. Prabhu是爱荷华州立大学的计算机学教授。