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(2015-05-26 21:11:38)
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幻方偶数方阵奇数对数 |
分类： 小学奥数专题讲解 |
偶数阶幻方的填法｛包括奇数阶段幻方的填法｝
幻方填法大全：
本文分奇数阶，偶数阶（又分为双偶数阶和单偶数阶幻方两种）两大类！
一、奇数阶幻方
这个我在以前的博文中说过，这里我再说一下，因为很重要，小学阶段常考上奇数阶的幻方。
法国人罗伯总结出了构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法“罗伯法”。
口诀如下：
1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。
翻译以下就是这个意思：
对于奇数阶幻方，从第一行最中间的空开始填1，此后每一个数填到上一个数的右上角（当上一个数在最右或最上时，将最左或最下的一行移到右边或上边）当上一个数在右上角或它的右上角有数字时，下一个数填到它的下边。
3阶幻方又叫九宫格，中国古代九宫格的填法口诀是：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
五阶幻方
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
二、偶数阶幻方
分为双偶数阶幻方和单偶数幻方
A 双偶数阶幻方 4k阶
双偶数:四阶幻方，八阶幻方,....,4K阶幻方， 可用<对称交换法>,方法很简单:
1) 把自然数依次排成方阵
2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线,
3) 把这些对角线所划到的数,保持不动,
4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调,
幻方完成!
B 单偶数阶幻方4k+2
单偶数:六阶幻方，十阶幻方,....,4K+2阶幻方， 方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:
1) 把幻方分成两个区,一是边框一圈,二是里面一个双偶数方阵,
2) 把(3+8K)到(16K^2+8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵, （其实就是把原来的4k阶幻方，每个数都增加8k+2，变成更大数的4k阶幻方）
3) 把余下的数,在边上试填,调整到符合为止.
以下是6阶幻方的例子：
1 9 34 33 32 2
6 11 25 24 14 31
10 22 16 17 19 27
30 18 20 21 15 7
29 23 13 12 26 8
35 28 3 4 5 36
六阶幻方（4×1＋2，k＝1）的填写方法
（1）把11～26填入中间4×4方格中，按照
11，24，14，25
22，17，19，16
23，12，26，13
18，21，15，20
（2）把余下的数在上面这个四阶幻方的边上试填得到下列边框
（3）把上面的四阶幻方放在中间这个边框内就得到六阶幻方
33，01，34，05，31，07
08，11，24，14，25，29
28，22，17，19，16，09
10，23，12，26，13，27
02，18，21，15，20，35
30，36，03，32，06，04
还有一种方法叫对调法
下图是将六阶自然方阵对调后制作的六阶幻方。
1 2 3 4 5 6 36 32 4 3 5 31
7 8 9 10 11 12 12 29 27 10 26 7
13 14 15 16 17 18 19 17 2221 14 18
19 2021 22 23 24 13 20 16 15 23 24
25 26 27 28 29 30 25 11 9 28 8 30
31 32 33 34 35 36 6 2 33 34 35 1
A 六阶基本初始方阵 B 六阶幻方
对调法的方法是
1.将两条对角线上的六对中心对称的数同时对调（也就是将两条对角线倒排）。
2.将左半区作列方向上下对称的对调，每一列只调一对数（如13和19、2和32、9和27）。
3.将上半区作行方向左右对称的对调，每一行只调一对数（如3和4、7和12、14和17）。
说明：对于某一列作上下对称的对调的一对数，可以换成与该列左右对称的另一列相同位置的一对数的进行对调（例如上图中第二列中数 2 与 32 的对调，可以换成第五列中数 5 与 35 的对调）；对于某一行作左右对称的对调的一对数，可以换成与该行上下对称的另一行相同位置的一对数的进行对调。
如下图是以其中的 A 图为初始方阵，采用不同的对调方案制作的 3 个六阶幻方。
1 3 5 7 9 11 36 9 30 7 3 26
1315 17 19 21 23 14 22 19 17 16 23
25 27 29 31 33 35 35 4 8 6 33 35
2 4 6 8 10 12 25 27 31 29 10 12
14 16 18 20 22 24 13 21 18 20 15 24
26 28 30 32 34 36 11 28 5 32 34 1
A 六阶基本初始方阵 B 六阶幻方
36 28 5 7 9 26 36 3 30 7 9 26
13 22 17 20 16 23 14 22 19 17 16 23
2 27 8 6 33 35 25 4 8 6 33 25
25 10 31 29 4 12 2 27 31 29 10 12
24 21 18 19 15 14 13 21 18 20 15 24
11 3 32 30 34 1 11 28 5 32 34 1
C 六阶幻方 D 六阶幻方
对调法是制作 4 K+2 阶幻方的通法，不过当阶数增大时就更为复杂（同时灵活性也更大），这里不作一般性的研究，下面给出用对调法制作的一个十阶幻方，它所采用的的十阶初始方阵是十阶自然方阵。制作时将 20 对数对调（两条对角线上的 10 个都参与对调），行方向、列方向各对调五对数。
100 99 3 7 95 6 4 8 92 91
81 89 88 14 16 15 17 83 82 20
30 72 78 77 25 26 74 73 29 21
31 39 63 67 66 65 64 38 32 40
60 42 48 54 56 55 47 43 49 51
50 52 53 44 46 45 57 58 59 41
61 62 33 37 36 35 34 68 69 70
71 22 28 27 75 76 24 23 79 80
11 19 18 84 85 86 87 13 12 90
10 9 93 94 5 96 97 98 2 1
以上内容仅供对幻方感兴趣的同学参考。如有问题，请翻阅相关资料。如遇到小学奥数问题，请留言我。
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