小学奥数中关于一个图形绕着另外一个图形转动的圈数问题

例题1，如图1，有一个半径为1厘米的小铁环，沿着半径为4厘米的大铁环的内侧作无滑动滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原来的位置时，小铁环自转了几圈？

 雪帆奥数王老师分析与解答：

很多人认为，大铁环的半径是小的4倍，那周长也是4倍，所以是4圈。

但是，小铁环在沿大铁环内侧作逆时针滚动的过程中，同时它本身也在作顺时针滚动，当回到原来的位置时，小铁环正好作顺时针滚动一圈，所以小铁环自转了4－1＝3（圈）。

 其实完全可以看小圆圆心引动的距离与小圆周长的关系。这样可以简化记忆。

 例2.如图2，正方形的边长是4.71厘米，圆环的半径是1厘米，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周，又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？

 雪帆奥数王老师分析与解答：

因为圆环滚动到正方形的每个角上时，都要零距离滚动旋转90°（这个能想象得到吧），经过正方形的四个角一共要旋转360°，正好转一圈；当再滚动一周回到原位置时，圆环滚动所经过的距离就是正方形的周长，所以这个圆环转了4.71×4÷（2×3.14×1）＋1＝4（圈）。

 例3.如图2，一个直径为2厘米的圆环，沿着边长是6厘米的正方形外侧，无滑动地滚动一周回到原来位置时，这个圆环滚过的面积是多少？

 雪帆奥数王老师分析与解答：

同学们可以自己画出圆环滚过的地方，尤其是拐角处，它由4个相同的长方形和4个相同的圆组成，其中4个长方形的总面积是6×2×4＝48（平方厘米），4个相同的圆的总面积，就是一个半径为2厘米的圆的面积，即3.14×2²＝12.56（平方厘米），所以圆环滚过的面积是48＋12.56＝60.56（平方厘米） 

或者你用整个大图形，去掉中间的正方形做也可以，试试。

［开训训练题］

   大圆的半径是10厘米，小圆的半径是2厘米。现让小圆沿着大圆的内侧滚动一周，则小圆的圆心经过的路程是多少？小圆滚过的面积是多少？

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