小学奥数专题讲解之整除问题

 

 

一、基本概念

 

  对于整数a和整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a。a就是b的倍数，b是a的约数（因数）。

  0是任何非零自然数的倍数，1是任何整数的约数

 

二、一些数的整除特征

 

① 被2整除的特征：看末尾，数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）

② 被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数

③ 被5整除的特征：看个位，数的个位上是0、5

④ 被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数

⑤ 被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数

⑥ 被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数

⑦ 被7、11、13整除的特征：数的末三位与末三位以前的数字所组成的数，两者的差是7、11、13的倍数

⑧ 一个整数既能被2整除又能被3整除，那这个数就能被6整除

   一个整数既能被2整除又能被5整除，那这个数就能被10整除

   一个整数既能被3整除又能被5整除，那这个数就能被15整除

 

三、整除的应用

 

(一)简单应用题型

 以下例题来自网络，仅供参考：

例1．期末考试六年级某班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班有多少名学生？

 

解析：总分=平均分×人数，即□95□是90的倍数，而90=2×5×9，□95□也应为2、5、9的倍数，根据相关数的整除特征，□95□的个位数一定是0，而□+9+5+0的和也一定是9的倍数，所以千位上的□一定是4，总分一定是4950，学生人数=4950÷90=55（人）

 

例2．一位马虎的采购员买了36套桌椅，，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：36套桌椅，单价：□3.□□元，总价：1□24.5□元。你能帮忙算出单价和总价吗？

 

解析：先不考虑小数点.总价=单价×数量，即1□245□应是36的倍数，而36=4×9，1□245□也应为4、9的倍数，根据相关数的整除特征，5□应为4的倍数,即个位上的□只能是2或6,同时,1+□+2+4+5+□应是9的倍数.

如果个位上取2,那么百位上的□应是4,1424.52÷36=39.57,与题不符

所以个位上只能取6,那么百位上的□应是0或9,如果是0,1024.56÷36=28.46,与题不符.所以总价应为1924.56元,单价=1924.56÷36=53.46元

 

例3.水果店运来苹果和桔子共六筐,分别重15,16,18,19,20,31千克,两天已卖出其中五筐.卖出的五筐中苹果是桔子重量的2倍.剩下一筐是哪筐?

 

解析:因为五筐中苹果是桔子重量的2倍,说明这五筐的总重量应是3的倍数.六筐的总重量是15+16+18+19+20+31=119千克,119÷3=39…2,由于其中5筐总重量是3的倍数,除以3没有余数,也就是说剩下的那筐重量除以3后,余数是2.在六筐中,20除以3的余数是2,所以,剩下那筐重20千克.

 

例4.雪帆小学有11个兴趣小组,各小组人数如下表:

组别	钢琴	手风琴	古筝	摄影	足球	乒乓球	二胡	绘画	书法	声乐	舞蹈
人数	6	7	9	15	19	16	19	25	21	35	30

一天下午,学校同时举办写作、数学两个讲座，已知有10个小组去听讲座，其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在讨论问题，这一组是哪个小组？

 

   解析：由“其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍”可知：听讲座的人数一定是7的倍数，除以7肯定没有余数，而总人数除以7必得一余数，再看表中哪组人数除以7得到的余数，与上面那个余数相同，该组就是去参加讨论的那组

 

   例5．小兵和小亮两人做一种轮流报数的游戏。规则是：每个人报出的数不能超过8，也不是0，把两人报出的数加起来，谁报数后加起来是100，谁就获胜。小亮先报，并且第一次都报1，以后不管小兵报几，最后小亮准赢。这是为什么？请说明理由？

 

   解析：因为小亮总是先报1，那么剩下的和就只能是99，又因每次报的数在0至8之间，99÷9=11，没有余数，不管小兵报几，小亮就报9减去小兵报的数的差，这样，加起来是100的数一定是小亮报，所以小亮准赢。

 

（二）复杂应用题型

 

 例1．在1至100的整数中，能被2整除或能被3整除的整数共有多少个？

  解析：由于100÷2=50，能被2整除的有50个

            100÷3=33、、、1，能被3整除的有33个

      以上这些数中，包括了既能被2整除也能被3整除，即能被6整除的数，共有100÷6=16、、、4，有16个，是重复计数的，要扣除

    所以，符合题目要求的数有50+33-16=67个

 

   例2．从1、3、5、7、、、、97、99中最多可以选出几个数，使它们当中的每一个数都不能另一个数的倍数。

    解析：题中全部是奇数，在考虑倍数时，首先把数字1排除，最小的倍数应是3倍

      由于3×33=99，3×35=105超过99，因此从35开始，以后每一个奇数都不可能是另一个数的倍数，1—99有50个奇数，1—33有17个奇数，所以最多可以选出50-17=33个数，使它们当的任一个数都不会是另一数的倍数。

 

   例3．在1、2、3、、、29、30这30个数中，最多可能取出多少个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。

   解析：我们把这30个数按照除以7的余数分组，分别有整除、余1、余2、、、余6 这七组，每组中的数分别有4个，5个、5个、4个、4个、4个、4个，要想和不是7的倍数，整除的这组只能取一个；取了余1这组的一个数，就不能从余6这组再取，取了余2这组中的数，就不能从余5这组中取数，取了余3这组中的数就不能再从余4组中取数。要想取的数最多，我们可以把余1、余2、余3中的数全部取出来，再从整除组中取一个，即符合题目要求，共可取5+5+4+1=15个

 

   例3．某住宅区有12家住房，他们的门牌号分别是1、2、3、、、、12，他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。这一家的电话号码是多少

   解析：两个整数甲和乙，如果甲能被乙整除，那么甲与乙的差仍能被乙整除。由于每家电话号码能被门牌号整除，所以电话号码与门牌号的差也能被门牌号整除。电话号码是12个连续的自然数，门牌号也是1、2、3、、、12这12个连续的自然数，每家的电话号码与门牌号的差是同一个整数。它能被1、2、3、、、12这12个数整除，因此它是1、2、3、、、12这12个数最小公倍数的倍数，即27720的倍数，可以写成：27720×某个整数。

    门牌号是9的这一家，电话号码是：27720×某个整数+9。因为它能被13整除，9除以13的余数是9，那么27720×某个整数除以13的余数应该是4，而27720=13×2132+4，27720×某个整数=（13×2132+4）×某个整数，说明4×某个整数除以13的余数是4，那么某个整数除以13的余数应该是1，这样的整数可能是1、14、27、、、、

    由于这家的电话号码首位小于6，经尝试，27720×14+9=388089符合题意.所以，这家电话号码是388089

 

    例4．如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中的1的个数最少有多少个。

   解析：33333=3×11111，说明这个数既能被3整除，也能被11111整除

      能被3整除，说明这个数中1的个数应该是3的倍数个

      能被11111整除，说明这个数中的1的个数应该是5的倍数个

      即这个数中1的个数应该是15的倍数个，

     所以，最少有15个1

 

   例5．41位数55、、、55□99、、、99（5和9分别有20个）能被7整除，中间方格代表的数是几？

  解析：牢记111111=3×7×11×13×37，所以555555=5×111111，999999=9×111111，这两个数肯定能被7整除。这样18个5和18个9分别组成的数也能被7整除。

    原式=555、5500、、00（18个5和23个0）+55□99+99、、99（18个9）

     上面三个数中，第一个和第三个能被7整除，由于原数能被7整数，所以中间一个数55□99肯定也能被7整除

     把55□99拆成两个数的和：55A00+B99，其中□=A+B

因为55300能被7整数，399能被7整数，所以□=3+3=6

 

  后记：除了要牢记111111=3×7×11×13×37，还要牢记 1001=3×11×13，在解题中很有用的。

 

   例6．甲、乙两人进行下面的游戏。两人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把0、1、2、、、、9这10个数字之一填入□□□□□□的任一格中，每一方格只填一个数字，数字可以重复，填满后就形成了一个六位数。如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果不能，就算甲胜。假设N小于15，那么当N取哪几个数时，乙才能取胜。

    解析：由于甲先取，N如果是偶数，只要甲在最右边方格中放入一个奇数，就能使这个六位数不能被N整除，乙不能获胜。如果N=5，甲可以在最右边方格中填入一个不为0或5的数，乙也不能获胜。如果N=1，随便怎么取，乙必胜；如果N=3或9，乙在放入最后一个数时，总能把这6个数之和凑成3的倍数或9的倍数，乙也能胜；如果N=7、11、13时。我们注意到1001=3×11×13，举个例子1001×123=123123，我们把格子从左到右配好对了，第1格和第4格，第2格和第5格，第3格和第6个配对，甲在任意一对格子中放入一个数，乙就在这对格子的另一个格子中放入同样的数，那样这六位数肯定能被1001整除，也就能被7整除，乙获胜。

所以，当N=1、3、7、9、11、13时，乙才能获胜

 

    例7．一个四位数AB12加上9能被9整除，加上8能被8整数，求满足条件的最大数。

    解析：如果整数甲和乙，能被丙整除，那么甲和乙的和或差也能被丙整除

      四位数AB12加上9能被9整除，说明四位数AB12也能被9整除，即是9的倍数

      四位数AB12加上8能被8整数，说明四位数AB12也能被8整数，即是8的倍数

     根据被8整除特征，四位数中的末三位B12能被8整除，B可能是1、4、5、7、9

     根据被9整除特征，各个数字和是9的倍数，即A+B+1+2=A+B+3是9的倍数，当B=1、3、5、7、9时，对应地A=5、3、1、8、6

要想这四位数最大，A=8，B=7符合要求。

 

    例8．4名同学做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不为0）拿到这个数的最左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，它们的得数分别是172536、568741、620708、845267。结果中哪一个可能是正确的，为什么？

    解析：仔细分析，原六位数与新六位数对比，发现，其中五位数字是相同的，另一个数字是位置不同。

      假设原六位数的个位数是X，去掉个位数后的五位数是Y，那么原六位数可以表示为：10Y+X，新六位数可以表示为：100000X+Y。这样这两个数的和就是：10Y+X+100000X+Y=100001X+11Y=11×（9091X+Y），这个得数应该是11的倍数，根据被11整除的特征，很容易找到只有620708是正确的。

 

     例9．从0、1、4、7、9中选出4个数字，可组成若干个四位数，把其中能被3整除的四位数从小到大排列，问，第10个数是多少？

    解析：（1），由于0+1+4+7=12，是3的倍数，所以由这4个数字组成的四位数都能被3整除，当1排在千位时，从小到大排列为：1047、1074、1407、1470、1704、1740

      （2）由于1+4+7+9=21，是3的倍数，所以由这4个数字组成的四位数都能被3整除，

当1排在千位时，从小到大排列为：1479、1497、1749、1794、1947、1974

    比较（1）和（2）中的数，从小到大，第10应该是1

 

      雪帆老师友情提示：以上分析仅供参考，雪帆老师的解答一般只给提示，剩下的留给孩子自己思考，主要培养孩子独立思考问题的能力。希望家长把答案删掉，让孩子认真完成，如果有问题，可以给我留言。耐心解答！