错位相减法

这一部分只是来自网络，其实很简单，就两步，一步乘以公比，一步错位相减即可！

适合小学生阅读和理解的文章请移步：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a6685e90102v5kl.html

以下内容为高中知识，小学奥数中关于错位相减法，需要掌握等比数列求和的推导。这方面的内容我会在以后的博文中讲解，请关注！

若数列{ http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie7.gif }是等差数列，数列{ http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie8.gif }是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列{ http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie9.gif http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie10.gif }，当求数列的前n项和时，常常采用将{ http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie11.gif http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie12.gif }各项乘以{ http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie13.gif }的公比q，并向后错一项与原{ http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie14.gif http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie15.gif }的同次项对应相减的方法。

   例4 求数列1 , 2x , 3x² , 4x³ ┄ nx^n-1 前n 项的和

     分析：对比例题材可以看出此数列也是由一个等差数列与一个等比数列组合而来，但它又不具备例1的“加”的特点，而是对应项相乘而应该模仿等比数列求公式的推导过程而采用“错位相减”的方法，引导同学观察等比数列求和公式的推导过程。类似的给出下面的解法：

解：设S_n=1+2x+3x²+4x³+ ┄ +nx^n-1  ①

   则xS_n=x+2x²+3x³+4x³+ ┄ +nxⁿ 　②

         ①-② 得 （1-x）S   _n =   1+x+x²+x³+ ┄ +x ^n-1-nx ⁿ

         ⑴当x=1时，在原式中S_n=1+2+3+4 + ┄ +n= http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie16.gif

　　　　⑵当x http://www.tgzhx.com/ztxx/mathstudy/mathstudy/zhuant/shulieqiuhe/shulie17.gif 时

            注意、1 要考虑 当公比x为物值1时为特殊情况

                  2 错位相减时要注意末项

   此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

　　形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。

　　例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

　　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；

　　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

　　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

　　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；

　　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 

　　两边同时乘以1/2 

　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 

　　两式相减 

　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) 

　　Sn=1-1/2^n

　　错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：

　　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1） 

　　在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下：

　　aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）

　　用（1）—（2），得到等式（3）如下：

　　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）

　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

　　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。

　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

　　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。

　　例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0） 

　　解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n平方 

　　当x不等于1时，Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方 

　　所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方 

　　所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方。 

　　化简得：Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 －（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方

　　Cn=(2n+1)*2^n 

　　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 

　　2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 

　　两式相减得 

　　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) 

　　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) 

　　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) 

　　=(1-2n)*2^(n+1)-2 

　　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2

　　错位相减法 

　　这个在求等比数列求和公式时就用了 

　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 

　　两边同时乘以1/2 

　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 

　　两式相减 

　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) 

　　Sn=1-1/2^n