关于男生追女生的数学模型

    t时刻a君的学业成绩为y(t)；其b女对a君的疏远度为x(t);
    当a君没开始追求b女时b女对a君的疏远度增长（平时发现的a君的不良行为）符合malthus模型，即dx/dt=ax(t)其中a为正常数。
    当y(t)存在时，单位时间内减少x（t）的值与x(t)的值成正比，比例常数为b，从而dx(t)/dt=ax(t)－bx(t)y(t).
    在假定a君发起对b女追求攻势后，立即转化为b女对a君的好感，并设定转化系数为α，而随着的a君发起对b女的攻势后，a君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e.于是有dy(t)/dx=αbx(t)y(t)－ey(t).

    这样，就得到了由学业与疏远度所构成的两个数字在无外界干扰的情况下互相作用的模型：
   {dx(t)/dt=ax－bxy;dy(t)/dt=cxy－ey.(1)}其中c=αb.
    这是一个非线性自治系统，为了求两个数x与y的变化规律，我们对它作定性分析。
    令{ax－bxy=0;cxy－ey=0.}
    解得系统（1）的两个平衡位置为：o(0,0),m(d/c,a/b).
    从（1）的两方程中消去dt，分离变量可求得首次积分:
    f(x,y)=cx－dln？x？－aln？y？=k. (2)
容易求出函数f（x,y）有唯一驻点为m（d/c,a/b）,再用第五章中所讲的极值的充分条件判断条件可以判断m是f的极小值点。
    同时易见，当x→∞（b女对a君恨之入骨）或y→∞（a君是一块只会学习的木头）时均有f→∞;而x→0（a君作了变形手术，b女对他毫无防备）;y→0（a君不学无术，丝毫不学习）时也有f→∞.
    由此不难看出，在第一像限内部连续的函数，z=f(x,y)的图形是以m为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与z=k(k＞0)的交线在相平面xoy的投影f(x,y)=k(k＞0)是环绕点m的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。
    从生态意义上看这是容易理解的，当a君的学习成绩下降时，b女会疏远a君；于是a君就又开始奋发图强，学习成绩y(t)又上升了。于是b女就又和a君开始了来往，疏远度又下降了。与b女交往多了，当然分散了学习的时间a君的学习成绩y(t)下降了。然而我们可证明，
尽管闭轨线不同，但在其周期内的x和y的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点m的两个坐标。事实上，
    由（1）的第二个方程可得：dy/ydt=cx－ e,两端在一个周期时间t内积分，得：
    ∫(dy/ydt)dt=c∮xdt－dt (3)
    注意到当t经过一个周期t时，点（x,y）绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：∫(dy/ydt)dt=∮dy/y=0.
    所以，由（3）式可得：（∫xdt）/t=d/c.
    同理，由（1）的第一个方程可得：（∫ydt）/t=a/b.
    现在考虑追求攻势对上述模型的影响。
    设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为：
   {d x/dt=ax－bxy－hx=(a－h)x－bxy;dy/dt=cxy－ey－hy=cxy－(e h)y}(4).
    将（4）式与（1）式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把（1）中x与y的系数分别换成了a－h与e h。因此，对（4）式有
    x’=(∫xdt)/t=(e h)/c,y’=(∫ydt)/t=(a－h)/b (5)
   利用（5）式我们可见：攻势作用力h的增大使x’增加，y’减少。考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即h减小，与无考试期间相比，将有利于学业成绩y的增长。这就是volterra原理。