讨论自然数与偶数一样多

“如果两个集合之间建立一个一一对应，就叫做它们的个数相等”¹。“不管是有穷集还是无穷集，如果能够在A与B两个集合的元素之间建立起一种一一对应的关系，就应当承认A与B的元素一样多”²。“我们可以把每个自然数同一个偶数配对，也可以把每个偶数同一个自然数配对。例如，下面就是一种配对的方法：
      标准集         偶数集

                                1←→2

                                2←→4

                                3←→6

                                4←→8

                                  ………

用这种方法可以把两个集合的元素都配成对，因此它们有相同的基数”³。“两个集合称为等势的，如果它们之间能够建立一一对应”⁴。

1 分析一个现象，有一个由连续自然数组成的集合，元素个数不祥（集合起点终点不祥），另有一个由连续偶数组成的集合，元素个数也不祥，用一一对应方法比较它们是否等势，如果两个集合的元素数都是有限数，结果是两个集合不一定等势，如果两个集合的元素数都是无限数，结果是两个集合一定等势。同样用“一一对应”方法比较两个集合的大小，两集合的元素数是有限或者无限结果会不同。此例中的有限数与无限数在作两集合是否等势的一一对应时，是性质一样的自然数和偶数，不应该结果不同。出现结果不同应该是比较集合是否等势的方法有问题，经分析问题的原因是，集合论中比较集合大小的一一对应方法在实际使用时存在两个标准。第一个标准是，两个集合间用一个元素对一个元素配对的方法比较两集合的元素数，在两集合中的最后一个元素都确定配对后才认定两个集合的元素一样多。第二个标准是，只要两个集合可以按顺序用一个元素对一个元素的方法开始配对，不用等到确认最后一个元素已配对就认定两个集合的元素一样多，就认为两集合元素配对没有多余元素。第一个标准是传统公认的有穷集比较大小方法中的一种方法，这个标准没有用在无穷集之间比较大小，因为当集合元素个数趋近无穷时，哪两个元素在对应无法认定。第二个标准是第一个标准的前半部分，在集合论中第二个标准只被用来确定无穷集合间等势，如果用第二个标准比较有穷集的大小，在集合间作元素一一配对结束前；在没有确定元素是否全部配对的情况下，就认为两集合元素一样多，就认为个数不详的自然数集与偶数集等势，应该不正确，所以第二个标准不能用在有穷集间比较大小。因为是比较等势的方法不同导致结果不同。

自然数集在有穷阶段和无穷阶段都是由一个一个元素组成。如果自然数集与偶数集等势，就必须在自然数集与偶数集的有限阶段和无限阶段都做到元素间一一对应。可以认为与自然数的无穷大之间不能再插入自然数的自然数是趋近无穷大自然数，记为→∞，自然数集在有限阶段和无限阶段的每一个元素都有序数。自然数集有趋近无穷多个元素，自然数集中总有一个元素的序数是→∞，自然数与偶数作对应时是它们之间相同序数的元素在对应，那么偶数集中的哪个元素与自然数集中元素序数是→∞的元素对应？偶数集被推导出的与自然数→∞对应的数是“→2∞”吗？“→2∞”与“→∞”的定义矛盾，“→2∞”不存在，这样“→2∞”=“→∞”也来不及存在。只有讨论过是不是自然数集中的“→∞”与偶数集中的“→2∞”对应才能确认自然数集与偶数集的每个元素是否都一一对应过。如果认为→∞是一个过程不是一个自然数，那么→∞这个过程也存在于自然数集之中，这个过程也是由一个一个自然数元素组成，如果在这个过程中不能区分出一个一个元素，自然数集与偶数集就不能作一一对应，自然数集与偶数集也就不能等势。那么当自然数与偶数一一对应到自然数进入到→∞这个过程时，偶数用怎样一个过程与之对应呢？不存在偶数用“→2∞”过程对应自然数→∞过程，所以自然数集与偶数集不等势。前面摘引的一一举例说明每一个自然数都存在一个偶数与之对应的例子中，被验证到的数都是有限数，无限数的情况没有被验证。比较无穷集大小的第二个“一一对应”标准在集合论中没有被论证过，其正确性没有依据。
  2 有穷集之间比较大小时还有一些方法与一一对应方法同样经典有效、同样有资格在无限集比较大小时使用，一个方法是两两对应,两集合间的元素如果可以两两对应没有剩余两集合元素相等。另一个方法是A集中的一个元素与B集中的两个元素对应的对应方法。集合A有10个元素，集合B有20个元素，集合A的一个元素可以与集合B中的两个元素一一对应（即一二对应）、完全相配、没有多余的元素，对应完成后的结论是集合B与集合A的基数不等；集合B的元素是集合A元素的两倍。因为奇偶相互对立而存在，自然数集中有一个偶数必定有一个按顺序在此偶数之前的奇数，偶数集中有一个偶数就必定在自然数集存在一个相同的偶数和按顺序排在此偶数之前的一个奇数，偶数集中的一个元素可以与自然数集中两个元素一二对应，两集合中的每个元素都可确定被对应到，偶数与自然数一二对应没有多余元素。这样作一二对应后的结论是，偶数集与自然数集不等势。如果无穷集比较大小只承认一一对应方法，不承认、不允许一二对应方法，应该说明理由。
  3 有限集作一一对应比较时，如果在A、B两集合中A集合的元素与B集合作一一对应后，B集合还有剩余元素，那么比较的结果是B集合的基数大。偶数集中的元素可以与自然数集中的偶数元素完全一一对应、完全配对、没有多余元素，自然数集中的奇数元素会余出，那么就应该是自然数集与偶数集的基数不同。如果不承认一个无穷集作一一对应完成后另一个有元素余出的集合基数大，应该说明理由。
  4 函数定义：“A是给定的一个数集，f是一个确定的对应规律，如果对于A中每一个数x，通过f，都有一个唯一的数y与之对应，记为f（x）=y，这时我们称f是A上的函数”⁵。y=2x中y集怎么产生的？如果y是被人为以自然数（x）为基数按规律确定后出现的集合，那么被x一一确定出元素的集合y与x集等势，但是y=2x不是偶数的定义，需证明在有限数和无限数范围y都是偶数，才能证明偶数与自然数等势。那么当自然数x是→∞时被y=2x对应出偶数是哪个？如果y是从自然数集中隔一个元素选出一个元素组成的偶数集，那么这个偶数集与自然数集的对应规律是y集中的一个元素与x集中的2个元素是一一对应的关系，1y=1（2x），表明y集与x集不等势。
  5 偶数集是与奇数集相对应而存在的，没有奇数集就没有偶数集，偶数集不能离开奇数集而单独存在，离开奇数集的“偶数集”，实质已经不是偶数集了，与自然数集做到了一一对应与自然数集等势的“偶数集”，其中的元素符合自然数公理（皮亚诺公理），符合自然数公理的集合就是自然数集，这时的“偶数集”只是元素符号的写法与自然数不同而已。在认为偶数集与自然数集可以建立一一对应的关系时，偶数集被替换了概念，这时的“偶数集”实质已转换成了自然数集。
观察下面阵列。
1        2       3       4        5       6        7       8        9    …
1×2   2×2   3×2   4×2   5×2   6×2   7×2   8×2   9×2 …
1/1    1/2    1/3    1/4    1/5    1/6    1/7    1/8    1/9  …
1²      2²      3²      4²      5²      6²      7²      8²      9²    …
1*     2*       3*      4*      5*      6*      7*      8*      9*   …
可以看出以上被认为可以与自然数一一对应、基数相同的集合，只是变化了自然数元素的写法而已。它们实质都是自然数集。
  6 偶数定义：“能被2整除的自然数”⁶。就是自然数中的能被2整除的数是偶数，即偶数是自然数的一部分，如果又存在“偶数与自然数一样多”，那么就是偶数是自然数的一部分，偶数又不是自然数的一部分，这就违反了逻辑学基本规律中的同一律，不符合逻辑规律。如果认为集合论中有些结论就是与逻辑学基本规律不同，那么应该明确说明。
  从以上6个方面逻辑分析偶数与自然数的关系，结论都是偶数与自然数不等势。所以自然数与偶数可能不等势。
参考文献
〔1〕《集合论与连续统假设浅说》 张锦文 上海教育出版社1980  p19
〔2〕《数学与哲学》张景中 中国少年儿童出版社  P43
〔3〕《无限数》〔英〕C.D.H库伯著 科学出版社1982  p8
〔4〕《康托的无穷的数学和哲学》 〔美〕 周 道本 大连理工大学出版社2008  p41
〔5〕《高等数学》人民教育出版社 1978 p21
〔6〕《数学词典》〔法〕L.Chambadal 高等教育出版社 1989  p292

18.10.10修改

讨论自然数与偶数一样多

如果两个集合之间建立一个一一对应，就叫做它们的个数相等。¹“不管是有穷集还是无穷集，如果能够在A与B两个集合的元素之间建立起一种一一对应的关系，就应当承认A与B的元素一样多”²“我们可以把每个自然数同一个偶数配对，也可以把每个偶数同一个自然数配对。例如，下面就是一种配对的方法：
     标准集         偶数集

                                1←→2

                                2←→4

                                3←→6

                                4←→8

                                  ………

用这种方法可以把两个集合的元素都配成对，因此它们有相同的基数”³。“两个集合称为等势的，如果它们之间能够建立一一对应。”⁴

1 分析一个现象，有一个由连续自然数组成的集合，元素个数不祥，另有一个由连续偶数组成的集合，元素个数也不祥的，用一一对应方法比较它们是否等势，如果两个集合的元素数都是有限数，那么两个集合不一定等势，如果两个集合都是无限数，那么两个集合一定等势。同样用一一对应方法比较集合的大小，集合的元素数是有限或者无限结果会不同。这是因为集合论中比较集合大小的一一对应方法在实际使用时存在两个标准。第一个标准是两个集合间用一个元素对一个元素配对的方法比较两集合的元素数，在两集合中的最后一个元素都确定配对后才能认定两个集合的元素一样多。第二个标准是，只要两个集合可以按顺序用一个元素对一个元素的方法开始配对，不用等到确认最后一个元素已配对就认定两个集合的元素一样多，就认为两集合的元素配对没有多余元素。第一个标准是传统公认的有穷集比较大小方法中的一种方法，这个标准不能用在无穷集之间比较大小，因为当集合元素个数趋近无穷时，哪两个元素在对应无法认定。第二个标准来源于第一个标准中的一部分，在集合论中第二个标准被用来确定无穷集合间等势。如果用第二个标准比较有穷集的大小，在集合间作元素一一配对结束前；在没有确定是否有多余元素的情况下，就认为两集合元素一样多，应该不正确，所以第二个标准不能用在有穷集间比较大小。前面一一举例说明每一个自然数都存在一个偶数与之对应时，被验证到的数都是有限数，无限数的情况没有被验证，自然数是→∞时是哪个偶数与之对应（与自然数无穷大之间不能再插入自然数的自然数是趋近无穷大自然数，记为→∞）？。比较无穷集大小的第二个一一对应标准在集合论中没有被论证过，其正确性没有依据。
  2 有穷集间作比较时还有一些方法与一一对应方法同样经典有效、同样有资格在无限集比较大小时使用，就是一个元素与两个元素对应的数数方法。集合A有10个元素，集合B有20个元素，集合A的一个元素可以与集合B中的两个元素一一对应（即一二对应）、完全相配、没有多余的元素，对应完成后的结论是集合B与集合A的基数不等；集合B的元素是集合A元素的两倍。因为奇偶相互对立而存在，自然数集中有一个偶数必定有一个按顺序在此偶数之前的奇数，偶数集中有一个偶数就必定在自然数集存在一个相同的偶数和按顺序排在此偶数之前的一个奇数，偶数集中的一个元素可以与自然数集中两个元素一二对应，两集合中的每个元素都可确定被对应到，偶数与自然数一二对应没有多余元素。这样作一二对应后的结论是，偶数集与自然数集不等势。如果无穷集比较大小只承认一一对应方法，不承认、不允许一二对应方法，应该说明理由。
  3 有限集作一一对应比较时，如果在A、B两集合中A集合的元素与B集合作一一对应后，B集合还有剩余元素，那么比较的结果是B集合的基数大。偶数集中的元素可以与自然数集中的偶数元素完全一一对应、完全配对、没有多余元素，自然数集中的奇数元素会余出，那么就应该是自然数集与偶数集的基数不同。如果不承认无穷集作一一对应完成后有余出的集合基数大，应该说明理由。
  4 函数定义：A是给定的一个数集，f是一个确定的对应规律，如果对于A中每一个数x，通过f，都有一个唯一的数y与之对应，记为f（x）=y，这时我们称f是A上的函数⁵。y=2x中y集与x集是同时存在的还是先后存在的？如果y是被人为以自然数（x）为基数按规律确定后出现的集合，那么被x一一确定出元素的集合y与x集等势，但是y=2x不是偶数的定义，需证明在有限数和无限数范围y都是偶数，才能证明偶数与自然数等势。那么当自然数x是→∞时是哪个偶数与之对应？如果y是与x同时存在的，y是从自然数集中选出的偶数集，那么这个偶数集与自然数集的对应规律是y集中的一个元素与x集中的2个元素是一一对应的关系，1y=1（2x），表明y集与x集不等势。
  5 偶数集是与奇数集相对应而存在的，没有奇数集就没有偶数集，偶数集不能离开奇数集而单独存在，离开奇数集的偶数集，实质已经不是偶数集了，与自然数集做到了一一对应与自然数集等势的“偶数集”，其中的元素符合自然数公理（皮亚诺公理），符合自然数公理的集合就是自然数集，这时的“偶数集”只是元素符号的写法与自然数不同而已。在认为偶数集与自然数集可以建立一一对应的关系时，偶数集被替换了概念，这时的“偶数集”实质已转换成了自然数集。
观察下面阵列。

1    2    3    4    5    6    7    8    9 …
1×2  2×2  3×2  4×2  5×2  6×2  7×2  8×2  9×2 …
1/1   1/2   1/3   1/4   1/5   1/6   1/7   1/8   1/9 …
1²   2²    3²   4²   5²   6²   7²   8²    9² …
1*   2*   3*   4*    5*   6*   7*    8*    9* …

可以看出以上被认为可以与自然数一一对应、基数相同的集合，只是变化了自然数元素的写法而已。它们实质都是自然数集。
  6 偶数定义：“能被2整除的自然数”⁶。就是自然数中的能被2整除的数是偶数，即偶数是自然数的一部分，如果又存在“偶数与自然数一样多”，那么就是偶数是自然数的一部分，偶数又不是自然数的一部分，这就违反了逻辑学基本规律中的同一律，不符合逻辑规律。如果认为集合论中有些结论就是与逻辑学基本规律不同，应该加以明确说明。
  从以上6个方面逻辑分析偶数与自然数的关系，结论都是偶数与自然数可能不等势。
参考文献
〔1〕《集合论与连续统假设浅说》 张锦文 上海教育出版社 1980  p19
〔2〕《数学与哲学》张景中 中国少年儿童出版社  P43
〔3〕《无限数》〔英〕C.D.H库伯著 科学出版社 1982  p8
〔4〕《康托的无穷的数学和哲学》 〔美〕 周 道本 大连理工大学出版社 2008  p41
〔5〕《高等数学》人民教育出版社 1978 p21
〔6〕《数学词典》〔法〕L.Chambadal 高等教育出版社 1989  p292