数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法）（英语：Gaussian Elimination），是线性代数中的一个算法，可用來為線性方程組求解，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。当用于一个矩陣时，高斯消去法會产生出一個「行梯陣式」。

例子

高斯消去法可用來找出下列方程組的解或其解的限制：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/a/8/3a803af2ee1435bf0f8af3e03d417c98.png（转载）" />

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/2/4/4249920a3d4903759205b41a3e959733.png（转载）" />

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/b/e/3be5f7a6230fd35fd20ac8df697af4d9.png（转载）" />

這個算法的原理是：

首先，要將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/7/4/d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png（转载）" /> 以下的等式中的http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png（转载）" /> 消除，然後再將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/8/4/d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png（转载）" /> 以下的等式中的http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/1/5/415290769594460e2e485922904f345d.png（转载）" /> 消除。這樣可使整个方程組變成一個三角形似的格式。之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中，就可求出其餘的答案了。

在剛才的例子中，我們將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/0/c/a/0caf3e4fe4ed7835271b7b12f1eb2264.png（转载）" /> 和http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/8/4/d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png（转载）" />相加，就可以將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/8/4/d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png（转载）" /> 中的http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png（转载）" /> 消除了。然後再將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/7/4/d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png（转载）" /> 和http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/7/0/37088076966c44ff397be489c434039b.png（转载）" /> 中的http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png（转载）" /> 消除。

我們可以這樣寫：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/3/d/63d646564cc8b7c62c371ff47b2b0e73.png（转载）" />

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/f/e/7fe29c3b56f8256d6155df6d58909af3.png（转载）" />

結果就是：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/a/2/f/a2f0275ef12c5fc63bd5fe20291bd615.png（转载）" />

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/e/e/6ee90fefd6a279762870cb7f14ce83fd.png（转载）" />

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/c/7/3c74ae11c89f1317a15ea1f7396c3cb8.png（转载）" />

現在將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/8/c/3/8c3a01ee64d343ddf1f355f3907c3d7b.png（转载）" /> 和http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/7/0/37088076966c44ff397be489c434039b.png（转载）" /> 相加，就可將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/7/0/37088076966c44ff397be489c434039b.png（转载）" /> 中的http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/1/5/415290769594460e2e485922904f345d.png（转载）" /> 消除：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/2/a/d/2ad55af3bf9d2bedd508f55bb7f9f8e6.png（转载）" />

其結果是：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/a/2/f/a2f0275ef12c5fc63bd5fe20291bd615.png（转载）" />

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/e/e/6ee90fefd6a279762870cb7f14ce83fd.png（转载）" />

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/a/a/1aa8bec03cb0bb26b3d7702c576f99a8.png（转载）" />

這樣就完成了整個算法的初步，一個三角形的格式(指:變數的格式而言,上例中的變數各為3,2,1個)出現了。

第二步，就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。第一個答案就是：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/0/0/9/0097e98c6ba5332890d4bc5a2d8c6367.png（转载）" />

然後就可以將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png（转载）" /> 代入http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/8/4/d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png（转载）" /> 中，立即就可得出第二個答案：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/8/d/6/8d6c4ca5667e09f9988e1b90e8f13f18.png（转载）" />

之後，將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png（转载）" /> 和http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/1/5/415290769594460e2e485922904f345d.png（转载）" /> 代入http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/7/4/d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png（转载）" /> 之中，最後一個答案就出來了：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/e/8/fe80d5e96b0891009c1e25f60c08fd59.png（转载）" />

就是這樣，這個方程組就被高斯消去法解決了。

這種算法可以用來解決所有線性方程組。即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式，高斯消去法仍可找出它的解。例如在第一步化簡後，http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/8/4/d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png（转载）" /> 及http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/7/0/37088076966c44ff397be489c434039b.png（转载）" /> 中沒有出現任何http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/1/5/415290769594460e2e485922904f345d.png（转载）" /> ，沒有三角形的格式，照著高斯消去法而產生的格式仍是一個行梯陣式。這情況之下，這個方程組會有超過一個解，當中會有至少一個變數作為答案。每當變數被鎖定，就會出現一個解。

通常人或電腦在應用高斯消去法的時候，不會直接寫出方程組的等式來消去未知數，反而會使用矩陣來計算。以下就是使用矩陣來計算的例子：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/d/5/7d5856c8c233cce225a8af374c65c8af.png（转载）" />

跟著以上的方法來運算，這個矩陣可以轉變為以下的樣子：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/b/7/fb7daa8d767147efbc980fe2607fdeb1.png（转载）" />

這矩陣叫做「行梯陣式」。

最後，可以利用同樣的算法產生以下的矩陣，便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/8/6/6/86631e1a3e32d16f1caf3b98889f4545.png（转载）" />

最後這矩陣叫做「簡化行梯陣式」，亦是高斯－約當消去法指定的步驟。

其他應用

找出逆矩陣

高斯消去法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。設http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/f/c/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png（转载）" /> 為一個http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/0/7/607acaa73c762411b20745149a11e90b.png（转载）" /> 的矩陣，其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。將一個http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/0/7/607acaa73c762411b20745149a11e90b.png（转载）" /> 單位矩陣 放在http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/f/c/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png（转载）" /> 的右手邊，形成一個http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/e/a/4ea00ab04366cdc544ecb05cedc975cb.png（转载）" /> 的分塊矩陣http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/c/1/5/c158995cd304061dd28b5a1257f75618.png（转载）" /> 。經過高斯消去法的計算程序後，矩陣http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/9/d/5/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png（转载）" /> 的左手邊會變成一個單位矩陣http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/d/7/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png（转载）" /> ，而逆矩陣http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/2/d/f/2df6de2695ac81125ca6212fe6ce3999.png（转载）" /> 會出現在http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/9/d/5/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png（转载）" /> 的右手邊。

假如高斯消去法不能將http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/f/c/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png（转载）" /> 化為三角形的格式，那就代表http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/f/c/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png（转载）" /> 是一個不可逆的矩陣。

應用上，高斯消去法極少被用來求出逆矩陣。高斯消去法通常只為線性方程組求解。

转自：维基百科 http://zh.wikipedia.org/wiki/高斯消去法