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Escher 系列版画Circle Limit 背后的数学奥秘
范翔00904097
2013 年4 月22 日
1 引言
荷兰著名画家M. C. Escher (17 June 1898 – 27 March 1972)
（中文译名为埃舍尔或者艾舍尔，台湾翻译成艾雪）是西方美术史上的一位奇才。其画作极具数学特色，常常以无穷、不可能几何结构、镶嵌图案等为主题，在具备通常的艺术美的同时还拥有一种难以言传的数学之美。尽管Escher
并没有受到过中学以外的正式数学训练，但是他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家。Escher
的画作至今仍然受到无数数学爱好者的追捧，在这个独特的领域里，Escher 实属前无古人后无来者。
Escher 最具代表性的作品之一，便是其系列版画Circle Limit（见图1）。四幅图
都有一个统一的特点：整个图形都是由几小块基本图案（即鱼、十字架、天使和魔
鬼），经过适当的扭曲、旋转和平移，最终铺满了整个圆形区域，并且越靠近圆的
边缘，基本图案的面积越小，直至无穷小。无穷便是这个系列版画的主题，Escher
用一种令人赞叹的方式，在有限的面积内，镶嵌了无穷多个基本图案。其中Circle
Limit III 被许多人认为是系列中最微妙的一幅画，仔细观察可以发现：盯着任何一
条鱼，顺着他的前进方向，一定全部是同一颜色、同一前进方向的鱼，从而形成了
一个“交通流”，每一条交通流上也都有无穷多条鱼。而其中Circle Limit IV 则是
我认为艺术效果最佳的一副，无穷多个光明的天使与黑暗的魔鬼图案互相镶嵌交
织在一起，你中有我我中有你，堪称一绝！
那么，如此精妙的图案是如何构造出来的呢？类似的图案要如何设计呢？事实上，Escher 当年是在他的数学家朋友Coxeter
的帮助之下得以完成这些创作的。1958 年，Escher 拿到Coxeter
寄给他的一本数学小册子，立刻被其中的一个图形震撼住了，于是开始写信给Coxeter，询问其构造方法，得到了Coxeter
的耐心教导[1]。事实上，画作中的圆盘其实是Poincaré
圆盘模型，属于非欧几何。其道理并不简单，因此这篇文章就来分析一下系列画作Circle Limit 背后的数学奥秘。
这篇文章的正文部分将按以下顺序组织：第2 节简单介绍非欧几何，尤其是文章后面会用到的相关基础知识；第3
节比较详尽地介绍Poincaré 圆盘模型的各种数学性质，并且具体地在Circle Limit 系列上指出这些性质的含义；第4
节介绍镶嵌图案，找出Circle Limit 系列的镶嵌原胞，并且通过类比欧式空间对镶嵌图案的限制，探讨非欧几何是否有类似限制；第5
节为结语。这篇文章将预设读者具有高中数学及简单微积分的知识。
2 非欧几何
非欧几何（全称为非欧几里得几何），字面意思即：与欧几里得几何不同的几何。
因此先从什么是欧式几何（欧几里得几何）讲起。初中时候我们曾经学过一个公理：过直线外一点，有且仅有一条直线与之平行。这个公理被称为第五公设，满足这个公理的几何就被称作欧式几何，可见中学学到的全部数学都是在欧式几何框架内讨论的。由第五公设，可以推出一条重要的定理：三角形的内角和为180°（换算成弧度制，就是）。仍然利用第五公设，用移动、剪裁、拼接图形的方法，我们还可以证明著名的勾股定理，写成比较便于这篇文章使用的形式即是：
ds2 = dx2 + dy2 (1)
第五公设由于叙述比较冗长，而且并不十分显而易见，因此历史上有许许多多的人尝试用其他的公理来证明之，然而全都无果。直至十九世纪初，事情发生了转机：以高斯、罗巴切夫斯基等人为代表的数学家发现，如果我们假定第五公设不成立，我们一样可以得到完备而且自洽的几何学！不满足第五公设的几何被统称为非欧几何，它们不是一种几何学而是一类几何学的统称。非欧几何看起来跟人们熟知的几何非常不同，最重要的几个区别就包括：三角形的内角和不再是，勾股定理也不再成立。非欧几何的几个例子见图2中间和右边的两个图。下面是几个非欧几何里的重要概念（以下仅讨论二维情形）：
度规：注意到非欧几何中(1) 式不再成立，所以为了能够定义距离，我们必须推广(1) 以便定义小线元ds 的长度：
(2)ds2 = gxxdx2 + gxydxdy + gyxdydx + gyydy2
其中系数gxx、gxy、gyx、gyy 为x 和y
的函数，这个式子就是度规的定义。按照现代几何学的观点，每有一个度规的具体形式，就定义了一种具体的几何学。显然，欧式几何(1)
式就是gxx = gyy = 1，gxy = gyx = 0 的几何学；再举一个例子，球面的度规为下式，R
为球的半径，我们地球表面的人其实就生活在这个度规所确定的二维空间内：
ds2 = R2(dx2 + sin2 xdy2) (3)
测地线：直线是我们熟知的概念，可惜它在非欧几何中没有良好定义。直线在非欧几何中的推广叫做测地线，它被定义为连接两点距离最短的线。图2的三幅图中，AB、CD、EF
都是测地线，虽然我们在三维空间中看起来它们并不直，但是它们在各自的几何下都是距离最短的线。再举一个例子：地球表面（球面）就可以看做一种具体的非欧几何，赤道、经线都是它的测地线，如果你想从赤道上的一个点走到赤道上的另一个点，在不能挖地道的情况下，沿着赤道走就是最短路线，因此它就是测地线。一旦给定一个度规，确定下一种具体的几何，测地线的方程就可以算出来。
曲率：曲率的完整概念比较复杂，这里只给出曲率的几个重要性质。曲面上某一点的曲率 可能是任意实数：当 = 0
时，表示曲面在该点是平坦的，比如欧式几何的曲率就是0；当 > 0 时，表示曲面在该点的弯曲是类似一个球的，如图2中间的图；当
< 0 时，表示曲面在该点的弯曲是类似于一个马鞍面的，如图2右侧的图。 绝对值的大小表示曲面的弯曲程度，jj
越小，则曲面越平。例如，在球面的几何中，球的半径越大，
就越小，从而越平坦，站在上面的人越感觉不出来自己是在弯曲的面上，这与人们日常的经验是相符的。
三角形内角和：在非欧几何中，三角形内角和不再一定是。三角形内角和的
计算，需要用到Gauss-Bonnet 定理：
(4)由此式可以得出，在不考虑曲面有空洞的情况下，三角形内角和减去 等于曲率在在三角形所围曲面上的积分。
3 Poincaré 圆盘模型
Escher 的系列画作Circle Limit，是一种非欧几何——Poincaré 圆盘模型中的图案。
Poincaré 圆盘模型是指度规为下式的几何：
(5)上面的准确定义，也许并不好懂。Poincaré 在他的著作《科学与假设》中，给了这个模型一个更加形象易懂的描述。假定有一个用大球包围起来的世界，他服从下述定律：（1）温度不是均匀的，在中心温度最高，随着距中心距离的增大，温度成比例的减小，当接近包围这个世界的球面时，温度降至绝对零度。更精确的表述为：设包围这个世界的球的半径为1，r 是所考虑的点到中心的距离，则绝对温度将与1..r2 成正比。（2）这个世界上一切物体具有同一膨胀系数，从而任何量尺的长度都与他的绝对温度成比例。（3）假定一物体从一点移动到另一点时，他能立即与新环境处于热平衡。（4）这个世界充满了光的折射媒介质，折射率与1..r2 成反比。以上这些假设，没有什么是矛盾的或不可想象的。满足这些假设的世界，就是Poincaré 圆盘模型[6]。根据Poincaré 圆盘模型的度规，可以得到它的曲率是负的常数:..1。也就是说，它的弯曲情况是类似于马鞍面的。
有了度规，接下来就可以得到Poincaré 圆盘模型的测地线方程：
显然，这个方程代表着圆！图3是对Circle Limit I 进行了加工，其中的红色线，都代表着测地线。从这张图中可以直观地看出图中的测地线都是圆弧。进一步的计算分析表明，任何一条测地线与边界圆盘都相交成直角。
这张图中的测地线围成了一个个的六边形，值得注意的是，但是实际上这些六边形其实都是正六边形，即有每条边的长度都相等。在视觉上看起来长度并不相等，是因为这里计算距离的时候要按照Poincaré
圆盘模型的度规(5) 式来计算，而不是人们熟知的距离公式。
4 镶嵌图案
用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是镶嵌图案。Circle
Limit 系列版画，是非欧几何空间中的镶嵌图案。
我们先来看一下欧式空间的普通的镶嵌图案是什么样子的。图4是二维欧式空间的一个镶嵌图案，其镶嵌原胞是图中红色框内的长方形，把镶嵌原胞复制-> 平移-> 粘贴，就可以得到密铺了整个平面的图案。
现在再回头看Circle Limit II 的镶嵌原胞，见图5，它在Poincaré
圆盘模型中是正六边形，经过复制-> 平移+ 旋转-> 粘贴之后，就形成了铺满整个Poincaré
圆盘模型空间的图3了。注意图3中的六边形尽管看起来似乎大小不一，其实全部都是中间的正六边形平移得到的，在该模型的度规下面积都是相等的！
类似的，Circle Limit III 和Circle Limit IV
的镶嵌原胞分别为正八边形和正六边形，见图6。
我们知道，在二维欧式空间，多边形镶嵌图案的种类是有限制的：只有三角形、四边形和六边形可以组成镶嵌图案。然而，在Poincaré
圆盘模型中，我们就看到了一个正八边形的镶嵌图案，这说明非欧几何中并不一定满足欧式几何中的类似限制。事实上，在欧式空间中有如此强的限制条件，是因为正n
边形的一个内角为(n-2)/2n*2π，而这个角度必须是1/m*2π(m 为整数)
的形式才可以组成镶嵌图形，因此只有三种正多边形满足要求。而在非欧几何中，三角形的内角和不再是，而是由(4)
式（Gauss-Bonnet 公式）给出。当曲率为负的情况下，通过调整面积大小可以获得小于
的任意三角形内角和，因此对镶嵌图形的原胞不再给出任何限制。因此，无论是正几边形，都可以组成Poincaré
圆盘模型里的镶嵌图形，这也给我们自己设计类似的图案一个指导方向。
5 结语
Escher 的画独树一帜，极具数学气息，尤其是Circle Limit 系列画出了非欧几何（Poincaré
圆盘模型）中的密铺图案，其构造精致典又雅意味深长。希望今后还会出现把数学与绘画结合的大师，让数学之美与艺术美联姻！
参考文献
[1] H. S. M. Coxeter. The non-euclidean symmetry of escher’s
picture ’Circle limit III’. Leonardo, 12(1):19–25, January 1979.
ArticleType: research-article / Full publication date: Winter, 1979
/ Copyright © 1979 Leonardo.
[2] H. S. M. Coxeter. The trigonometry of escher’s woodcut
circle limit III. In MC Escher’s Legacy, page 297–304. Springer,
2003.
[3] Douglas Dunham. Some math behind M.C. escher’s circle
limit patterns.
[4] Douglas Dunham. The family of “Circle limit III” escher
patterns.
[5] geopolicraticus. non-euclidean geometry, October
2010.
[6] physixfan. 庞加莱的几何学, February 2009.
[7] Wikipedia. Poincaré disk model, February 2013. Page
Version ID: 540663199.
[8] Wikipedia. M. c. escher, April 2013. Page Version ID:
551008328.
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