About the Phase Field Method

相场模型是众多求解多相流问题方法中一个迷人的方法。它是通过相场变量φ来得到界面层的信息，而不是去直接追踪两种流体界面的变化。它把表面张力等效为场变量的梯度与化学势的乘积，并将它作为一个体积力加入到Navier-Stokes方程中。

通过4阶偏微分Cahn-Hilliard方程来控制相场变量的演化。而利用Cahn-Hilliard方程，相场界面被分解成2个2阶的偏微分方程。

采用Level set方法，流体界面可以实现与流场的简单对流。而采用Cahn-Hilliard方程，不但可以计算流体界面的对流，而且还保证系统总能量合理的减少。因此，相场模型比level set模型包含更多的物理法则。

两种互不相溶流体的系统自由能包括：混合能、畸变能和锚定能。对于简单的两相流，只考虑混合能，因此可以得到一个相对简单的自由能表达式。

The Equations for the Phase Field Method

自由能是无量纲相场变量φ的函数：

$F(\phi ,\nabla \phi ,T) = \int {(\frac{1}{2}{\varepsilon ^2}{{\left| {\nabla \phi } \right|}^2} + f(\phi ,T))dV = \int {{f_{tot}}dV} } $

式中ε是界面的测量厚度。下面的方程描述了相场变量的演变：

(5-6) $\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + ({\bf{u}} \cdot \nabla )\phi  = \nabla  \cdot \gamma \nabla \left( {\frac{{\partial {f_{tot}}}}{{\partial \phi }} - \nabla  \cdot \frac{{\partial {f_{tot}}}}{{\partial \nabla \phi }}} \right)$

式中\[{f_{tot}}\]是系统总自由能(SI unit: J/m3)， u是对流运动的速度场(SI unit: m/s)。方程5-6的右边项力图得到由迁移率γ (SI unit: m3•s/kg)控制的在弛豫时间下最小的总自由能。

两种等温互不相溶流体的自由能密度是其混合能与弹性能之和。假定混合能密度满足Ginzburg-Landau形式：

${f_{mix}}(\phi ,\nabla \phi ) = \frac{1}{2}\lambda {\left| {\nabla \phi } \right|^2} + \frac{\lambda }{{4{\varepsilon ^2}}}{({\phi ^2} - 1)^2}$

式中φ是无量纲相场变量，因此两相的体积分数分别为(1+ φ)/2 和(1− φ)/2。λ(SI unit: N)是混合能密度的大小，而ε(SI unit: m)是界面层厚度的毛细宽度。这两个参数与表面张力σ (SI unit: N/m)有关：

(5-7) $\sigma  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\frac{\lambda }{\varepsilon }$

通过Cahn-Hilliard方程调整相场变量的偏微分方程：

(5-8) \[\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + {\bf{u}} \cdot \nabla \phi  = \nabla  \cdot \gamma \nabla G\]

式中G是化学势(SI unit: Pa)，迁移率γ(SI unit: m3•s/kg)。迁移率决定了Cahn-Hilliard扩散的时间尺度，因此为了得到一个稳定的界面厚度它必须足够大，同时为了保证对流项不至于过度阻尼，它又要足够小。在COMSOL Multiphysics中，迁移率满足界面厚度的函数\[\gamma  = \chi {\varepsilon ^2}\]。化学势为：

(5-9) $G = \lambda \left[ { - {\nabla ^2}\phi  + \frac{{\phi ({\phi ^2} - 1)}}{{{\varepsilon ^2}}}} \right]$

除流体界面极薄的区域内，Cahn-Hilliard方程强制φ取值1或-1。在相场界面处，方程5-8被分解为两个2阶偏微分方程：

(5-10) $\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + {\bf{u}} \cdot \nabla \phi  = \nabla  \cdot \frac{{\gamma \lambda }}{{{\varepsilon ^2}}}\nabla \psi $

(5-11) $\psi  =  - \nabla  \cdot {\varepsilon ^2}\nabla \phi  + ({\phi ^2} - 1)\phi $

Conservative and Non-Conservative Forms

如果速度场无散，那么可以用守恒形式：

$\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + \nabla  \cdot {\bf{u}}\phi  = \nabla  \cdot \frac{{\gamma \lambda }}{{{\varepsilon ^2}}}\nabla \psi $

使用守恒相场格式，可以得到积分变量φ数值守恒形式。然而，非守恒形式更适合数值计算，并且容易收敛。默认使用非守恒形式，相场函数积分变量只近似的守恒，但是对于很多应用非守恒形式精度已经足够了。

Additional Sources of Free Energy

在某些情况下，自由能的表达式包含其他源项。修改方程5-11以合并它们：

(5-12) $\psi  =  - \nabla  \cdot {\varepsilon ^2}\nabla \phi  + ({\phi ^2} - 1)\phi  + \left( {\frac{{{\varepsilon ^2}}}{\lambda }} \right)\frac{{\partial f}}{{\partial \phi }}$

式中f是用户自定义自由能(SI unit: J/m3)。需要注意的是，你必须自己推导外部自由能与φ关系的表达式，并把它们输入到场标签∂f/∂φ中。在大多数情况下，外部自由能等于零。

Initializing the Phase Field Function

同level set方法一样，你需要初始化相场函数，以使它在界面处由-1到1平滑的变化。在初始化过程中，相场界面去掉对流项，求解下面两个方程：

(5-13) $\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} = \nabla  \cdot \frac{{\gamma \lambda }}{{{\varepsilon ^2}}}\nabla \psi $

(5-14) $\psi  =  - \nabla  \cdot {\varepsilon ^2}\nabla \phi  + ({\phi ^2} - 1)\phi  + \left( {\frac{{{\varepsilon ^2}}}{\lambda }} \right)\frac{{\partial f}}{{\partial \phi }}$

初始化时间的大小一般与具体问题有关。与level set法不同，初始化时间有时可能长于实际计算时间。如果在添加物理场界面下的Studies list种选择Transient with Initialization的研究类型，那么相场界面自动通过方程5-13和5-14初始化。方程5-13和5-14有具体的物理基础，可以用来研究两种互不相溶流体的相分离。

Variables and Expressions

与level set法不同，相场方法不需要单元界面法向和平滑函数表达式，因此它们在分析过程中不可用。变量通过化学势定义，它可以重写为独立变量ψ的形式：

$G = \frac{{\lambda \psi }}{{{\varepsilon ^2}}}$

而表面张力F = G∇φ。

注意到界面的平均曲率(1/m)可通过下式计算：

$\kappa  = 2(1 + \phi )(1 - \phi )\frac{G}{\sigma }$

Reference For the Phase Field Interface

1. P. Yue, C. Zhou, J.J. Feng, C.F. Ollivier-Gooch, and H.H. Hu, “Phase-field Simulations of Interfacial Dynamics in Viscoelastic Fluids Using Finite Elements with Adaptive Meshing,” J. Comp. Phys., vol. 219, pp. 47–67, 2006.

（翻译自COMSOL Multiphysics 4.2 Help档，

配图取自Model library,公式用latex可视）

mxio

2011.11.28

简附latex看本文方法：

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