第三节  众数

一、众数的概念
二、众数的计算方法
三、众数的应用、优缺点及适用条件
四、算术平均数、中位数、众数三者的关系

一、概念
范数，密集数，通常数。用MO表示。
指在次数分布中出现次数最多的那个数的数值。
对众数有理论众数和粗略众数两种定义方法：
理论众数是指与频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。
粗略众数是指一组数据中频数出现最多的那个数。
理论众数可根据资料的分布形态，用积分法求得，但计算甚繁，一般是用经验公式求理论众数的近似值，或用观察法直接寻找粗略众数。
作用：
能直观地说明现象分布的集中趋势，当总体中出现极端数值时，可代替算术平均数来说明现象的一般水平。
当缺乏平均数资料或某些场合不必计算平均数时，可采取判断决定众数，代替平均数。
例如，集贸市场上成交量最多的价格；购买量最多的商品规格尺码等。 
众数(概念要点)
集中趋势的测度值之一
出现次数最多的变量值
不受极端值的影响
可能没有众数或有几个众数
主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据

二、众数的计算方法
1、用观察法直接寻找粗略众数
粗略众数不需要计算，可通过观察直接寻得。
（1）对原始数据求众数
在一组原始数据中，频数出现最多的那个数值就是众数。
如，一组原始数据2、4、3、6、4、5、4，其中频数出现最多的数值是4，于是4就是这组数据的众数。
（2）对频数分布表求众数
当数据整理成次数分布表后，在频数分布表中：
频数最多一组的组中值就是粗略众数。
当两个相邻组频数都是最多时，那么两组的分组点就是众数。
由于同一组数据，可以有不同的分组方法，即分组的组数不同、组距大小不一、各组上下限也可能不一样，所以次数分布表内频数最多一组的组中值就可能不同，因此众数也可能不同。可见，众数受分组的影响，并非唯一的。
众数(众数的不唯一性)
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定类数据的众数(算例)
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定序数据的众数(算例)
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2、用公式求理论众数的近似值
求理论众数近似值常用方法有两种：
（1）皮尔逊（K. Pearson）的经验法
利用皮尔逊发现的算术平均数、中位数、众数三者关系来求理论众数近似值的经验公式为：
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公式的适用条件：
只有当频数分布呈正态分布或接近正态分布时才能使用
因为只有在这种条件下，众数才近似地等于三倍的中位数减去两倍的算术平均数。 
（2）金氏（w. I. King）插补法
当频数分布呈偏态，即众数所在组以上各组频数总和与以下各组频数总和相差较多时，可以采用金氏公式计算众数，以进行比率调整。公式为：

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公式中：Lmo 表示众数所在组的下限
fa   表示大于众数所在组上限那个相邻组的频数
fb 　表示小于众数所在组下限那个相组的频数
i　　表示组距
公式的适用条件：当频数分布呈偏态，当然，比较接近正态分布的也适用。
数值型分组数据的众数(要点及计算公式)
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数值型分组数据的众数(算例)
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三、众数的应用、优缺点及适用条件
众数的概念简单明了，容易理解，但它不稳定，受分组的影响，亦受样本变动有影响，计算时不需每一个数据都加入，因而较少受极端数目的影响，反应不够灵敏，观察众数，不是严格计算而来，用计算方法所得众数亦是一个估计值。同时众数不能作进一步的代数运算。总数乘以众数，也不与数据的总数相等。
但可以利用它较少受两极端数值的影响、反应不灵敏的特点，在下述情况下也常常使用：
当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；
当一组数据出现不同质的情况时，可用众数表示典型情况，如工资收入、学生成绩等常以次数最多者为代表值；
当次数分布中有两极端的数目时，有是也用众数（一般用中位数）；
当粗略估计次数分布的形态时，有时用平均数、中位数、众数之间的关系粗略判断次数分布。
数据类型与集中趋势测度值

四、算术平均数、中位数、众数三者的关系
1、算术平均数、中位数、众数的大小与频数分布的形态有关
正态分布的关系
算术平均数、中位数、众数三者重合为一点。即：
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正偏态：M > Md > Mo
负偏态：M < Md < Mo
偏态中:
当频数分布呈偏态时，中位数(Md)居中，均值与中位数(Md)距离较近，众数(Mo)与中位数(Md)距离较远。均值与中位数(Md)的距离约占均值与众数(Mo)距离的1／3，而众数(Mo)与中位数(Md)的距离约占2／3。即
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各种分布情况下三者的关系，可参见王P46，以帮助我们理解。

四、算术平均数、中位数、众数三者的关系
算术平均数、中位数、众数之间的关系可参看书。
算术平均数、众数、中位数作为集中量数，各自描述的典型情况不同，可图示如下：
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平均数为一个平衡点，是一组数据的重心。它使数轴保持平衡，即支点两侧的力矩是相等的。
中位数：只使其两侧的数据个数相同。本例中7的两侧各包含4个数。
众数：是指次数出现最多的，重量较大的那个数据。本例为10，因为只有它在系列中出现两次。
众数、中位数和均值的关系
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2、平均数、中数、众数之间的比较