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一次函数门道多

二点一线确立之

三角函数纳其中

四种知识其乐融

初中一次函数该如何讲

    一次函数是初中阶段接触的第一种函数，这个章节简要的把函数的意义介绍了一遍，然后从正比例函数开始引入（y=kx）。这个章节在任何版本的教材里都没有去介绍k（斜率）的意义。

    因为如果要讲k（斜率），那么问题来了，那就必须要了解三角函数，可是三角函数是初三下册里的知识（一次函数是初二下册里的知识），我们当然也可以提前讲一下三角函数，可是问题又来了，k（斜率）是有负值的，我们在初中阶段只会接触到锐角三角函数，锐角三角函数是不会出现负值的，那么我们还得把任意角三角函数（或者至少要把180°角的三角函数给讲了），但是任意角三角函数是在高一必修2里的知识，这可怎么讲？不能一下子把高中的知识也讲了吧。

    我们先来看一下初中阶段怎么介绍一次函数的（各位数学大咖们，照顾一下家长们）：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k,b是常数），那么y叫做x的一次函数。其中x是自变量，y是因变量，k为一次项系数，其图像为一条直线。当b=0时，y=kx+b即y=kx，原函数变为正比例函数，其函数图像为一条通过原点的直线。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，但一次函数不是正比例函数。看好了，这里在介绍的k时，只是介绍它是一次项系数，可是很多孩子都会很纳闷的问这个k到底是什么意思（就像很多孩子会追问二次函数里a，b，c是什么一样）。

先看看初中数学解一次函数解析式给的例题：

                                                 已知一次函数的图象如图所示，求此一次函数的解析式

http://www.91jiaoyan.com/bbs/attachment.aspx?attachmentid=1422

                                                        0=4k+b      得到：  k=2         所以   y=2x-8

                                                        -8=0∙k+b            b=-8        

    初中解一次函数都是给出两个点的坐标，然后代入一次函数一般式，解二元一次方程组，得到k和b。b好理解，我们在讲的时候也直接说是与y轴的交点或者与y轴交点坐标的纵坐标值。但是学生问到k是什么意思的时候，很多初中数学老师就直接告诉孩子这是x的系数，不需要掌握。这么讲没有错，但似乎孩子们还是知其然不知其所以然。那么看看我是怎么讲的！

    首先，我会把b先解释一遍，b就是与y轴的交点，也可以说与y轴交点坐标的纵坐标值，还可以说成把一个正比例函数沿着y轴的方向向上或者向下平移的单位个数。因此，上面的例题中b就不用解了，直接看图就能知道是-8。那么再来看看k（很伤脑筋的讲法），我会先告诉孩子，在初三的时候我们会学一个知识点，叫做正切值（tan），正切值放在直角三角形里，就是一个锐角所对着的对边与邻边的比值。那么斜率k就是（很恶心很想吐很饶舌的讲法）直线与x轴正方向夹角的正切值（也许有很多老师也都这么讲过），那么上面的图中的斜率k，我们就可以看成8/4=2。这样这道题不用解，直接就看出来了。

    可是问题来了，如果一条直线，是从左上角往右下角画下来的，k就是负值，这该怎么讲，对于一般程度的孩子，我直接告诉他找到这条直线与x轴正方向的夹角的邻补角，然后求它的正切值，然后加一个负号（-）。那么上面那个斜率k的讲法统一规划为：斜率k是一条直线与x轴正方向的夹角的正切值，如果这个夹角大于90°，那么k就是这个夹角的邻补角的正切值加上一个负号（-），但切记，我说的这个这只是针对于初中的的讲法。

       ok！要是遇到程度好的孩子，他会追问为什么直线与x轴正方向的夹角大于90°，k是负值，那么又要头疼了（不是我不想讲，这一讲直接把高中任意角三角函数的意义都得讲出来了），好吧，讲吧。

http://www.91jiaoyan.com/bbs/attachment.aspx?attachmentid=1423

    如上图，我们可以把一个圆引入平面直角坐标系，圆心在原点上，那么半径是距离单位，所以半径OA永远是正值。如上图，tanθ=AC/OC，而OC和AC是有方向的，所以当一个角度在（90°，180°）之间时，AC还是正值，而OC就变成负值了（OC旋转到了x轴的负半轴方向上），所以当夹角在90°在180°时，tanθ就是负值，所以斜率k就是负值。（我就是这么讲的，当然对高中学生我会讲的比这个细，初中老师们可以参考一下）。

    最后重申一下，我这种讲法在解题的时候，如果遇到解答题，那么还是用初中课本教的方法解答，但是遇到选择和填空题，用我的方法会方便一些。

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