相对论的“招牌”公式
                     （1）
被认为是区别相对论与牛顿力学的标志。有谁知道，这个公式即使甩开相对性原理，也可从牛顿力学推导出来？
        也许读此文的朋友中有爱打赌的，我愿与他或她赌上一把：1元钱，输了付现金人民币，而且不许哭。
        以下的推导只需要最简单的微积分知识。
        在（1）式中，m为粒子的质量，v为粒子运动的速度，m0为粒子在静止时的质量，c为光速。（1）式表明，当一个粒子的速度增加时，我们会观察到它的质量也随之增加，这种现象我们可称为“质速现象”。这种现象已为实验证实。
        假设，（1）式中的这个粒子由于某种原因，在一个平面内以一个有限的半径r作匀速圆周运动，它的速度仍然是v，显然，我们观察到它的质量仍然是m。如果它的运动半径r越来越小，小到我们无法分辨它是否在作圆周运动时，我们观察到的就是一个“静止”的粒子，由于无法区分它的动质量和静止质量，我们就会把它的全部质量m都当成它的静止质量。瞧，粒子的动质量就这样变成了静止质量。“双光子现象”不正是和这种情形很相似吗？（所谓双光子现象，就是一个动质量大约等于两个电子静止质量的γ光子，在撞击到重核时，有时会生成一正一负两个电子）
        刚才的分析表明，运动着的粒子，当它的运动被限制在很小的范围内时，它的动质量在外界看来就成为了它的静止质量。或者我们干脆可以这样说，静止质量就是由动质量转化而来。这个分析虽然只是涉及静止质量是如何形成的问题，但它还是给了我们很好的提示：物体的动质量也可能是由物体的周期运动而形成的。
        当我们用一个力F（F的值不是常数）推动一个作匀速直线运动的粒子m，使它的速度由开始时较小的v0变为较大的v时，不但使它的速度增加因而增加了动能，也使它的质量变得比开始时更大。设m的质量增量为Δm=m-m0，按照质量能量守恒规律，这个质量增量Δm只能是来自力F对m作的功ΔE，并且，F对m作的功越多，粒子m所增加的质量Δm就越多。于是我们可写出
                            （2）
U为一个待定常数。请注意，（2）式是根据我们的质量能量守恒的信念写出的。并且（2）中并没有先验的“物体的速度增加质量也随之增加”的含义，只是表明，“如果质量有所增加，则它就应吸纳了相应的功或能”。
        不用说，（2）式中的Δm就是动质量，按照前面的推测，这个动质量可能是由粒子m的周期运动形成的。那么，一个作匀速直线运动的粒子可能会有怎样的周期运动呢？只有一种可能：粒子m 虽然宏观上看起来是在作匀速直线运动，其实是在作螺旋运动，只是螺旋的半径非常小，不易察觉而已。
        就是说，粒子m的运动是两个运动的组合：一个速度为v的直线运动，和一个与v垂直的、以v为轴心的、半径为r、线速度也为v的圆周运动（图1、图2）。既然粒子m的运动是两个运动的组合，这种运动就应符合一定的规律，什么规律呢？经验告诉我们，在空中飞行的物体，如果它的运动轨迹确实是螺旋线（因受空气的作用）的话，一般它的质量m越大、速度越快，它的运动就越稳定，也就是说它的螺旋半径就应越小。基于这种看法，我们可以假设粒子m的圆周运动满足
                             （3）
        上式中的a为待定常数。（本博克以后相关的文章会证明：a为约化为普朗克常数。）
        请注意，“粒子作螺旋运动”是一个假设，（3）式是这个假设的数学形式。

 

                        图1  粒子的螺旋线运动

 

                 
                    
                          图2  粒子的圆周运动

        随着粒子的进速度由v增加到v+Δv，粒子的圆周运动半径将由r减少到r-|Δr|。
由于粒子的圆周运动具有离心力，外力F在使粒子m加速的过程中要克服这个离心力对粒子作功ΔN，有 
                        （4）
        上式中，F为粒子的速度增加之前的离心力；Δr前的负号表示Δr的变化方向与ΔN相反，Δr应取负值。
        显然，（4）式中的ΔN也就是（2）式中的ΔE，有
                                   （5）
        另一方面，随着粒子的速度由v增加到v+Δv时，粒子受到的离心力为
                       （6）
        综合（2）、（4）、（5）（6）式，得
                    （7）
        把上式中的高阶微量去掉，得
                                 （8）
即
                                    （9）
        当Δr→0时，（9）式变为
                                   （10）
        另一方面，粒子应满足（3）式，把（3）式两边微分，得
                                                             
        上式可变化为
                               （11）
        将（11）式代入（10）式，得
           
即
                      （12）                            
        将（12）式两边积分，有
                               （13）
        使m的积分范围从m0到m，则v的积分范围就是从v0到v，解（13）式就有
           

即
                         （14）
        （14）式就是粒子相对元气的速度由v0增加到v时，它的质量随着由m0增加到m的数学关系。请注意，m也即粒子的总质量（包括静质量和动质量）。对照能量的概念和（2）式，可看出，U具有速度平方的量纲，可令
                             （15）
        u为待定常数，具有速度的量纲，不妨把u称为“特别速度”。于是（14）可写为
                       （16）
        那么，特别速度u是多大的速度呢？
        光子也是粒子，也应遵守（16）式。众所周知，许多实验已证明光子的速度与光源的运动无关，也就是说，光子的初速度和末速度总是等于c，即
                                     （17）
        将上式代入（16）式，得
                        （18）
        上式说明，如果u>c或u<c，则光子的末质量m就永远等于初质量m0，而不会发生任何变化；而事实证明，光源在运动时，是要使所发射的光子的质量发生改变的，即，光子的末质量是可以不等于初质量的。所以，就只能有
                                  （19）
        将（19）式代入（16）式，得
                        （20）
        当c>>v0时，就得
                      （21）
        （21）式就是（1）式。
        而将（15）式代入（2）式，并进行积分，就可得
                              （22）
        （22）式是爱因斯坦的最著名的公式，也有人认为是相对论的结论。

 

        回顾以上的推导过程，利用了“粒子螺旋运动假设”，运用了牛顿力学的质量能量观，利用了光子的速度与光源的运动无关的事实（注意，这个事实并不表明“光速不变”——正如声音的速度一般也与声源的运动无关，我们并不可因此而得出“声速不变”的结论），还利用了光源的运动可以改变光子的质量的实事。对比相对论，它在推导出（1）式的过程中，利用了“相对性假设”和“光速不变假设”，以及“闵可夫斯基空间”，还有“同时性概念”（相信许多人都承认，这是一个容易让人糊涂的概念）。可以这样说，牛顿力学的推导用了较少的假设和较多的事实。
        “粒子螺旋运动假设”不但是一个非常符合牛顿“粒子论”观点的假设，而且它与粒子的实际情况有较好的吻合，可以较好地解释为何粒子还同时具有波动性（其实是粒子运动的周期性），可以推导出海森伯格测不准不等式，解释核外电子的能量为何必须是量子的，解释施特恩-格拉赫实验等。（请参看本博克将登出的《粒子是螺旋运动的》）
        “粒子螺旋运动假设”隐含了对以太的肯定。因为，粒子在运动时不会凭空作螺旋运动，只有当它与某种东西作用时，才会出现这种现象。这种东西显然应该是普遍存在、绝对存在的，它就是以太。这与本博克的《相对论自相矛盾》、《一个证明以太存在的可操作的实验》的结论是一致的。因此，以上推导中各个公式中出现的v、v0和c，实际上表示的都是相对以太的速度。

        这也让我们得出非常重要的两个结论：

        1、光子相对以太的速度不变。

        2、任何有质量的物体，相对以太的速度都不能超过光速。

        从以太的观点不难看出，当我们也在相对于以太运动时，我们与光子的相对速度并不是如相对论所宣称的一个不变的速度c，这个速度应是我们的速度与光速的矢量和，它的值是变化的，变化的范围为0~2c。这个结论符合人的直觉与经验。
        需要特别指出的是，以上的推导表明，光子的静止质量并不绝对等于0，因为如果这样的话，光子最初就会因为没有质量而无法在作圆周运动时产生离心力，也就没有光子的动质量的形成了。并且，将（19）式代入（18）式会得到
                   
        上式中，左边的m为一个确定的值，右边的分子m0如前面所说，为一个非常小（无穷小）的值，而右边的分母0/0虽在形式上是一个不确定的值，实为一个与m0同阶的非常小（无穷小）。这就朦朦胧胧地向人暗示：这里还有人们不知道的洞天，此洞天的某个角落存放着关于“光子何以有不同质量的机制”的密码。
        相形之下，相对论似乎有些霸道：它宣称，对于光子来说，（1）式右边的分子不折不扣地就是0，右边的分母不折不扣地也是0；至于既然（1）式右边都是没有区别的0/0，因为什么机制导致了（1）式左边出现不同的值（即，为何导致光子有不同的质量或不同的频率），无可奉告。

        因此，我们可以说，牛顿力学对于质速现象（1）式和光子的性质等的解释，比相对论平实、自然、恰当，揭示了物质世界更多的可能性、复杂性。