求一元二次方程的整数根

对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠ 0)的实数根问题，可以用根的判别式Δ=b²-4ac来判别，但对于它的有理根,整数根情况就没有统一的方法来判别，只能具体情况具体分析。本文对这一问题作一探讨。

  1 直接求解

例1．m是什么整数时方程（m²-1）x²-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根？（1993年天津市初二数学竞赛决赛）

解：显然m≠±1,原方程可分解为

[（m-1）x-6][(m+1)x-12]=0

x₁=   x₂=

 ∵x_{1 ,} x₂是正整数

∴m-1=1或2或3或6

m+1=1或2或3或4或6或12

解得m=2或3.但m=3时x₁=x₂不合题意，舍去。

当m=2时x₁=6 ,x₂=4符合题意。

 故m=2。

2.利用判别式Δ≥0

例2 已知方程ax²-(a-3)x+a-2=0至少有一个整数根，求整数a的值

解：如果a=0原方程化为3x-2=0无整数根，故a≠0

∵Δ=(a-3)²-4a(a-2)≥0

∴3a²-2a-9≤0

 

满足上式的整数a的值有-1，1，2，

检验：当a= -1时x=1或3(两个整数解) ；

 当a=2时x=0或0.5(一个整数解) ；

 当a=1时x²+2x-1=0无整数解。

 故a= -1或2

例3 求满足方程y⁴+2x⁴+1=4x²y的所有整数对（x,y）(1995江苏省初中数学竞赛)

解：将原方程变形为2x⁴-4yx²+(y4+1)=0有△≥0即（-4y）²-8(y⁴+1)≥0即

-8(y²-1)²≥0  即（y²-1）²≤0

 故y=1或-1

当y= -1时原方程无解；

当y=1时（x²-1）²=0,x=1或-1

∴满足原方程的所有整数对是（1，1） （-1，1）。

3．利用判别式Δ是完全平方式

例4 设m为整数且4<m<40,方程x²-2(2m-3)x+4m²-14m+8=0有两个整数根，求m的值和方程的根（1993天津市初二数学竞赛决赛）

解：易得△=4（2m+1）由△=4（2m+1）是完全平方数和4<m<40可得m=12或24并求得相应的根为26，16和52，38

例5． x为何有理数时代数式9x²+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998山东省初中数学竞赛）

解：设两个连续正偶数为k,k+2则9x²+23x-2=k(k+2)

即9x²+23x-(k²+2k+2)=0 ∵x是有理数∴判别式Δ是完全平方数 即设

23²+4·9（k²+2k+2）=565+[6(k+1)]²=p²

(p≥0)

p²-[6(k+1)]²=565=113•5=565•1即[p+6(k+1)][p-6(k+1)]=113•5=565•1

∴   p+6(k+1)=113

     p-6(k+1)=5或               p+6(k+1)=565

 p-6(k+1)=1

分别解得k=8或k=46。当k=8时x=2或- ；当k=46时x= -17或

总之当x=2或 -41/9时9x²+23x-2为两正偶数8，10的积；x= -17或130/9时9x²+23x-2为两正偶数46，48的积。

4.利用韦达定理

例6 方程x²+px+q=0的两个根都是正整数并且p+q=1992，求方程较大根与较小根之比。（1992北京市初中数学竞赛初二复赛）

解：设原方程的两个正整数根为x₁,x₂

∵x₁+x₂= -p   x₁x₂=q

∴x₁x₂-x₁-x₂=p+q=1992

 ∴(x₁-1)(x₂-1)=1993

∴x₁-1=1 ， x₂-1=1993 ∴x₁=2  x₂=1994 ∴x₂/x₁=997

例7求所有实数k使方程kx²+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数（1993第五届祖冲之杯初中数学竞赛）

解：设方程的两根为x₁ ，x₂由韦达定理x₁+x₂= - =-1-  

   x₁x₂= =1- (∵k为实数，此时不能推出k=1,-1)

 x₁x₂-x₁-x₂=2 ∴(x₁-1)(x₂-1)=3

∴x₁-1=1 ,x₂-1=3或x₁-1= -3,x₂-1= -1∴x₁=2,x₂=4或x₁= -2,x₂=0

故k₁= -1/7或k₂=1

5.常元互换

例8求出所有这样的正整数a使得二次方程ax²+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根（第三届祖冲之杯初中数学竞赛）

解：将原方程变形为关于a的一次方程(x+2)²a=2(x+6)显然 x+2≠0

∴a=2(x+6)÷(x+2)²∵a为正整数

∴2（x+6）÷(x+2)²≥1解得-4≤x≤2

取x的整数值x= -4,-3,-1,0,1,2分别代入得a=1,3,6,10

例9． 使方程a²x²+ax+1-7a²=0两 根都是整数根的所有正数a的和是多少？（1992上海市初中数学竞赛）

解：将原方程变形为关于a的二次方程(x²-7)a²+xa+1=0 

 ∵△=x²-4(x²-7)=28-3x²≥0   

∴x²≤28/3 ∵x为整数∴x²=0,1,4,9, 

当x=0时a==         ；

当x==1时a=1/2或-1/3  ；

当x= -1时a=1/3 或-1/2；

当x= 2时a=1或-1/3 ；

当x= -2时a=1/3或-1；  

当x=3时  a= -1/2或-1；

当x= -3时a=1/2或1 。

 而a>0经检验：

当a=1时x=2或是-3；  

 当  a=1/2时x=1或-3；

当a=1/3时x= -2或-1;  

 当 a=   时x=0或-  （舍去）

∴所有正数a的和为1+1/2+1/3=11/6 

6．利用整数性质 

例10．如果方程x²-ax+b+1=0的两 根x₁，x₂都 为自然数，试证：a²+b²必为合数（祖冲之杯初中数学竞赛）

证明：∵x₁+x₂=a  x₁x₂=b+1由于 x_1，x₂为自然数 故a为自然数 b为非负整数

∴a²+b²为自然数  又∵a²+b²=(x₁+x₂)²+(x₁x₂-1)²=(x₁²+1)（x₂²+1)

显然x₁²+1>1  x₂²+1>1  ∴a²+b²为合数

例11 已知m.n为整数，

方程x²+10mx+5n±3=0、有实数，问方程有无整 数根？（全国初中数学竞赛培训题）

解：如果整糸数方程有整数根，那么判别式Δ是完全平方数。

∵△=100m²-4(5n±3)=100m²-20n±12=10(m²-2n±1)±2

∴Δ的末位数只能是2或8  ∴Δ不是完全平方数  ∴这个方程无整 数根

7．利用二次函数

例12．已知b,c为整数， 方程5x²+bx+c=0的两个根都大于-1且小于0 ，求b和c（全国初中数学竞赛题）

解：构造二次函数y=5x²+bx+c的图象和题设条件知：

当x=0时5x²+bx+c>0 

有c>0        -------①

 当x= -1时5x²+bx+c>0有

b<5+c    --------②

抛物线顶点横坐标-b/10满足-1<-b/10<0有0<b<10--------③

又∵Δ≥0, b²-20c≥0即

b²≥20c             -------④

由①③④得100>b²≥20c   c<5

如果c=1则由②④得0〈b<6且b²≥20得b=5

如果c=2则0<b<7且b²≥40 无整数解

如果c=3则0<b<8且b²≥60无整数解

如果c=4则0<b<9且b²≥80无整数解.故所求b.c的值为b=5.c=1

8.综合应用

例13．已知关于x的方程

4x²-8nx-3n=2   ------①和

x²-(n+3)x-2n²+2=0 ------②

问是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根？如存在，求出这样的n值；如不存在，说明理由。（2000湖北省初中数学选拨赛）

解：由△₁=(-8n)²-16(-3n-2)=(8n+3)²+23>0知n为任意实数时方程①都有实数根，

设第一个方程的两 根为a和b则a+b=2n;ab=(-3n-2)/4 于是

（a-b）²=(a+b)² -4ab=4n²+3n+2 

 由方程②得[x-(2n+2)][x+(n-1)]=0

x₁=2n+2  x₂= -n+1

 如果x₁为整数 ，则4n²+3n+2=2n+2于是n₁=0 n₂= -1/4。当n₁=0时x₁=2； n₂= -1/4时x₁=3/2不是整 数，  舍去。

如果x₂为整数，则4n²+3n+2= -n+1于是n₃=n₄=-1/2此时x₂=3/2不是整数，舍去。

综上所述n=0时第一个方程的两个实根的差的平方等于第二个方程的一个整数根。

 

练习题

1．已知方程a²x²-(3a²-8a)x+2a²-13a+15=0(其中a为非负整数)至少有一个整数根，求：a 。 (1998全国初中数学竞赛)[a=1,3,5]

2．设方程mx²-(m-2)x+m-3=0有整数解，试确定整 数m的值，并求出这时方程的所有整 数解。[m=1,x= -2,1]

3．设a为整 数，如果存在整数b和c使得(x+a)(x-15)-25=(x+b)(x+c)成立，求a.。（1998上海市初中数学竞赛）[a=9,-15,-39]

4．m是什么整数时关于x的方程x²-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数？(福州初中数学竞赛)[m=7或-1]

5．设关于x的二次方程                       (k²-6k+8)x²+(2k²-6k-4)x+k²=4的两根都是整数，求适合条件的所有实数k的值。（2000全国初中数学竞赛）[k=6,3,10/3]

6．求使关于x的方程

(a+1)x²-(a²+1)x+2a³-6=0

有整数根的所有整数a..(1996湖北省黄冈地区初中数学竞赛)[a= -1,0,1]

7．试求所有这样 的整 数a使得二次方程ax²+2ax+(a-9)=0至少有一个整 数根。（提示：a=9÷(x+1)²≥1，解得 -4≤x≤2分别讨论x的值可得a=1,9）

8．试求正数a使得二次方程(a²+1)x²+2ax+(a²-1)=0两根都是整 数。（提示：

（x²+1）a²+2xa+x²-1=0 

 △=4x²-4(x²+1)(x²-1)≥0即 x⁴-x²-1≤0从中求出x²的范围，x的范围，最后得x= -1或0或1，经检验得a=1)

9．已知方程x²+bx+c=0及x²+cx+b=0分别各有两个整数根x₁,x₂及x₁¹,x₂¹且 x₁x₂>0,x₁¹x₂¹>0 ⑴求证：

x₁<0， x₂<0， x₁¹<0 ，x₂¹<0

             ⑵求证b-1≤c≤b+1

             ⑶求b,c所有可能的值。（1993全国初中数学竞赛）[b=5,c=6;或b=6,c=5;或b=4,c=4]

10．              求所有正整数a,b,c使得关于x 的方程x²-3ax+2b=0  x²-3bx+2c=0

 x²-2cx+2a=0的所有根都是正整数（2000全国初中数学竞赛）[a=b=c=1]