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11歌德尔定理边际效应熵增加杂谈 |
分类: 经济杂谈 |
若谁对你说1+1≠2,如果不是脑筋急转弯,你一定会认为他疯了,不过最近本人到上海,见到了神乎乎的当年科大少年班的同学,谈起了2010年开始的一群人搞的1+1≠2的数学,人的很多思维实际上是被从小束缚的,如果放开这个束缚则你会得到很多奇异的结论。
对于构建我们当今的数学,有一条最重要的公理就是1+1=2,对于这个结论不是需要证明的,我们其他的计算都是从这个公理开始证明的,但数学本身就是一个纯逻辑的学术,数学本身与科学是有一定差距的,因为数学不需要验证的,科学是必须要有与现实内容形而上的验证的,我们完全可以以不同的公理推导出完全不同的逻辑体系,数学就是一个纯的逻辑体系,如果它能够与现实形而上的结合,就是科学,因此数学是科学的工具。
对于数学里面公理可以有不同的体系,最早出现在几何学,大家都知道几何学的第五公理,也就是平行公理是争议最大的,根据不同的平行公理假设,出现了欧几里得几何和非欧几何,对于这不同的几何到底哪一个正确,曾经是争论不休的,直到哥德尔定理的出现,大家知道了对于一个逻辑体系中间对于自身的问题。
哥德尔定理是数理逻辑中的一个定理,1931年奥地利逻辑、数学家克尔特·哥德尔(Kurt Godel)发现并证明的,这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。哥德尔定理其实是两个定理,其中哥德尔第一不完备性定理是最重要、也是误解最多的,从这一定理的版本众多就可以看出。如:“如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾,则T必定是不完备的。”“任何一个相容的数学形式化理论中,只要它强到足以在其中定义自然数的概念,就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。”“任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的”等。第二不完备性定理是第一定理的一个推论:“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”。
对于哥德尔定理的出现,那些无法证明的命题就只能作为公理存在,而对于每一种可能的命题结论,都可以有一个逻辑体系出现,在原来的哥德尔论证的不完备体系下,加上这些内容就完备了,因此会有了非欧几何,而对于几何第五公理是否能够被证明的争论在哥德尔定理以及美国数学家丘奇证明了:“对于包含自然数系的任何相容的形式体系,不存在有效的方法,决定体系中的哪些命题在其中是可证的。”之后,这样的争论自然终止了。
有了哥德尔定理认识到这样的不完备,就存在可能另外的体系,为什么不能存在1+1≠2的逻辑体系呢?这样的体系怎样建立起来是数学家的问题,而我们更应当在我们现在的世界里面思考,什么样的情况需要这样的1+1≠2的数学,研究数学从来不是纯喜好要有实际的应用,我们看到的就是非欧几何的重要性在广义相对论当中得到了重大的应用,这个应用出现的时期也是广义相对论诞生和哥德尔相关定理诞生的时代,人类的进步不光是爱因斯坦的物理,同时期数学思维的突破也非常关键,只不过这个关键被忽略了,而对于今天,为何提出了1+1≠2的数学,大家关心的还是思考其中重要应用,在什么样的体系下可以使用1+1≠2的方式进行逻辑体系的构建。
我们的经济学里面实际上是充斥着1+1≠2的情况,这个情形在1+1=2的数学体系当中要描述清楚它是非常不易的,我们为此建立了经济学的边际效应理论,我们拥有的1块钱给我们带来的价值是最大的,如果增加1块,则带来的效益不是增加一倍而是边际递减的,如果我们从这样的价值来考虑实际上是以一个1+1≠2来描述是一个最简单的模型。
在讲西方的价值论的时候,更多的是主观价值论,在主观价值论上很容易解释人们交换商品的动机,人们交换商品就是主观的价值认知不一样,交换就是赚便宜,而在客观价值论上,这样的交换价值是很难描述的,因为客观价值论上讲的是等价交换,既然价值相等,那么你的交换动机在哪里?但如果我们把描述价值的数字体系公理变成1+1≠2这样的公理,这个≠是考虑到了对应价值的数字的边际效应,则实际上在客观价值论上也非常容易解释交换的动机,因为在不同的边际之下价值不同,让价值发挥更好的边际效应本身会使得价值的总值最大化。这样的过程就如广义相对论里面非欧几何的应用一样,因为有了质量的影响场发生了弯曲,这个几何在物理上非常有用,因为光在空间上就是沿着曲线跑的,并非是直线,我们生活在地球上,因此我们的空间也是曲面,而不是平面,1915年,A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何(严格地说洛伦兹几何)及其运算方法(里奇算法)成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场(杨-米尔斯场)的数学基础。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明,以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究,引进了后来通称的陈示性类,为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。而我们的相对论告诉我们什么?如果从另外一个角度上说,就是时间这个数量不再是1+1=2,而是要随着参照系的不同,1+1≠2了,时间成为了一个复杂的变量。
而我们如果讲到经济学的纳什均衡,讲到合作的溢价和囚徒的困境,我们就可以知道在合作的不同状态之下,1+1是≠2的,如果合作的好是要1+1大于2的,如果是非合作博弈则产生囚徒困境的效果,会1+1小于2,在这样的现实社会,问题是很复杂的,1+1=2也是一个重要的抽象和公理,我们完全有可能以另外的逻辑模型来构建这个世界的数字体系,思维的定式是会束缚我们的思想的。
而对于我们的经济学,为什么还要停留在以前的那种原始的阶段,对于价值的描述应当有更深入的探讨,本人在《资源角逐》一书开始就讨论熵对于价值的作用,对于熵是永远增加的,而我们能够产生价值效用的负熵则会相对的减少,把任意的两个集合的相加,都是一个熵增加的过程,这样的相加对于总的负熵效用而言必然是1+1小于2的,我们如果是以熵的自然属性和人类劳动的人文属性为价值的两个方向,确定价值是一个矢量值的话,在很多数理分析上就要发生彻底的改变,就如相对论时间这样的数量可以相对概念的时候,原来的欧几里得几何就变化了,而我们如果价值也是这样的变化,整个世界的经济模型也就变化了。
在人类的经济发展当中,货币和经济学的假设是发生翻天覆体的变化的,在金本位货币时代货币总量是受制于贵金属数量和开采量是有限的和增加不多的,但现在的国家信用货币和QE下货币数量可以是无限扩张的,以前是可以假设世界市场是无限的开放体系,现在全球化以后地球变得有限了,我们的经济学还到不了其他星球,在以前的货币价值论是基于能量守恒质量守恒和人类能力与地球资源相比有限是不考虑资源价值的,现在是热力学熵增加和人类能力远超过地球资源承载的必须考虑资源价值的,因此本人认为在封闭的体系下就是一个曲面的几何空间,人类对于资源的价值就如时空的时间一样是一个变量了,所有这些应当催生新的经济数学模型,这个数学模型完全可能是一种新的形态新的逻辑,人类认识世界的逻辑就如第五几何公理一样可以有多个逻辑体系,1+1是否等于2的问题上可能会建造出描述人类经济活动的一种新的逻辑体系,起码我们应当解放思想的思考而不要被束缚住,有时候最简单的问题也会变得最复杂。
这样认识世界的矛盾,经常是方法论本元的矛盾,就如对于真理相对性的论证,涉及他本身命题的论证就是矛盾的,这恰恰是我们在前面所说的哥德尔定理的推论,人类认识世界的水平真的永无止境,现在我们都很渺小,每一次看到三联的那本《歌德尔、艾舍尔和巴赫》这本书,就为这样的思维所震撼,这是一个哲学的问题,我们在哲学面前是最渺小和无助的,哲学也是有最多不确定和争论的地方,无论数学、物理还是经济学,最后都是要在哲学的高度上统一,但是中国学校所学的哲学变成了没有思维碰撞却有标准答案的教育,中国不出大师,与我们的哲学高度成为侏儒有关,我们的素质教育不是培训弹琴和语言的技能,而是一种哲学思考能力,现在唯一可能涉及这样思考的奥数也被禁止了,而哲学思考所给出的空间,连1+1是否等于2的问题,现在都有这样多的空间,而那些袍笏登场的新贵暴发户们,要发展到能够思考哲学而不是思考财富,起码还要有三代的时间。
知道的越多,越觉得自己的浅薄,数学的精深思维逻辑的精深,真的有太多不懂的东西了……在孩童时代问“1+1是等于2吗”以后,要知道多少东西以后,才能够再发自内心的思考的问一遍1+1是否等于2呢……