不管在接触边界之间是否有间隙存在，接触作用的出现对结构受载荷之后的接触状态和应力分布都有直接的影响，有些结构正是由于接触作用，使不连续的部分共同工作，从而提高了整个结构的承载力和刚度；而正是由于接触的存在使得有些结构出现局部高应力，很容易使材料屈服或发生裂缝，如果再受到循环荷载的影响，还可能产生疲劳失效。因此对于接触问题的研究具有重要的工程实际意义。

赫兹接触理论及后来其它学者发展的弹性接触理论称为经典接触力学，它们都是通过封闭的解析解来解决接触问题的，但其应用范围有限，因而接触力学的进展主要与消除这些限制有关。接触问题属于数学上的混合边值问题，Boussinesq积分方程是其主导方程。按所用数学方法的不同，可将接触问题的理论解法大致分为经典解法和非经典解法。以经典的数学工具如积分变换法和复变函数法求解接触问题的方法称为经典解法，以有限元法、边界元法等求解接触问题的方法称为非经典法。以传统有限元法等数值方法为基础的非经典解法主要有罚函数法、拉格朗日乘子法、增广拉格朗日乘子法、摄动拉格朗日乘子法及数学规划法。

Trefftz有限元模型利用辅助网线位移场或面力场，在一种杂交意义上将单元域内位移场关联起来。单元域内位移场精确满足控制微分方程，它可表达为微分方程的特解、适当截断的Trefftz完备解系与待定参数乘积的和的形式。利用定义在每个单元边界上的独立的网线位移场，单元间的连续性就在一种近似意义上得到满足。在单元一级上消去内部待定参数后即可得到标准的力-位移关系式（即单元刚度方程）。

变分泛函是Trefftz有限元法的核心，它在单元公式推导中起着至关重要的作用。

由于Trefftz有限元法继承了传统有限元法和传统边界元法的优点：(1)公式中只含有对单元的边界积分，这样就可以生成任意多边形单元甚至曲边单元。因此，Trefftz有限元法可被认为是一种特殊形式的边界型求解方法，单元的边界类似于一种特殊形式的边界单元，其刚度矩阵对称、计算简单，而不像传统边界元那样要进行复杂的计算（如计算边界奇异积分的复杂积分规则，处理非齐次方程的特殊积分，处理间断问题的双节点技术等等）。(2)Trefftz有限元在处理各种几何、荷载奇异性或局部效应（如角点、孔洞、裂纹、夹杂、集中载荷等）问题有较高的效率和许多优点。因为只需将插值函数取成既满足控制方程，又满足给定的边界条件即可，而这种特殊函数可容易地从许多文献中找到。这样，在遇到角点、孔洞、裂纹、夹杂以及由各种载荷引起的应力集中或各种奇异性时，不需局部网格细分，只需在插值函数上作调整，就能达到所希望的精度。

（以上From弹性接触问题的杂交Trefftz有限元解法 王克用 天津大学博士论文 2006）

用有限元法求解不可逆接触问题，与求解同等规模的非接触问题相比，计算机内存及计算时间大大增加，为克服此缺点，先后提出了各种求解方法，包括子结构法、广义子结构法及混合有限元法。这些方法都是根据接触力与位移的条件建立有限元方程求解，对接触边界条件的处理都是基于一般力学的方法。

对于接触边界条件处理方面最优成果的工作是将接触问题考虑为有约束的最小值问题，对这种最小值问题的一种解法就是罚函数法，将接触区域的非嵌入条件作为罚项引入到接触系统的总势能中，将约束变分问题转化为罚优化问题求解。

Wriggers和Zavarise，Heegaard和Curnier，Simo和Laursen由变分不等式出发建立了带有库伦摩擦/大滑动/非线性本构关系的接触问题的罚有限元公式，即增广拉格朗日法，并可由变分不等式讨论其解的存在性和唯一性。增广拉格朗日法既改善收敛性，同时还改善了罚函数法的精度，成为工程界流行的求解摩擦接触问题的算法。这种方法的精度强烈依赖于所用罚因子的数量，但是各作者均采用相应的方法使得适当的罚因子大小能精确满足各种条件。目前一些商业软件如Ansys，Abaqus等都可以选用此方法。

接触约束算法就是通过对接触边界的适当处理，将约束优化问题转化为无约束优化问题求解。根据无约束优化方法的不同，一般可分为罚函数法、拉格朗日乘子法、增广拉格朗日乘子法和直接约束法。

罚函数法实际上是将接触非线性问题转化为材料非线性问题。根据处理方法不同又可分为障碍函数法和惩罚函数法。障碍函数法假设接触面之间充满某虚拟物质，在未接触时其刚度趋于零，不影响物体的自由运动，在接触区域其刚度变得足够大，能阻止接触物体的相互嵌入。罚函数法对接触约束条件的处理是通过在势能泛函中增加一个惩罚势能，从而将接触问题等价为无约束优化问题。其

原理是一旦接触区域发生穿透，罚函数便夸大这种误差的影响，从而使系统的求解无法正常进行。罚函数法不增加系统求解规模，但由于人为假设了很大的罚因子，可能引起方程病态。

为克服罚函数法罚因子选取的困难，出现了拉格朗日乘子法。1986年Kalker从虚功及其对偶形式-余虚功出发，采用拉格朗日乘子法把接触力引入到虚功方程中，从而建立了求解大变形摩擦接触问题的变分不等式。Papadopoulos及其合作者通过将两体接触系统分解为两个耦合的Signorini子问题，解决了无摩擦接触问题。不久他们又仿照刚塑性力学概念将其研究推广到有摩擦情况。拉格朗日乘子法不允许接触边界的相互嵌入，能精确满足接触条件，其中拉格朗日乘子的力学意义是接触力。遗憾的是拉格朗日乘子的引入增大了系统的求解规模且导致系统矩阵出现零主元，必须采取适当的处理方法才能保证方程的顺利求解。

直接约束法的基本思想是首先定义一个物体为接触体，另一个物体为目标体，接触力发生在接触体的节点与目标体表面之间。为了将接触体和目标体的单元组合在一起，需要进行单元刚度矩阵的转换和消除接触体节点的法向自由度。

罚函数法和拉格朗日乘子法及其改进方法均属于迭代法范畴，而数学规划法是一种与迭代法平行发展起来的方法，它首先被成功用于结构优化，在接触力学领域的应用不过四十余年时间。接触问题的数学规划法是基于势能或余能原理，利用变分不等式等现代数学方法导出，理论上比较严格和直观。最初该方法是针对无摩擦接触问题提出的，它利用了无摩擦接触问题的非穿透条件和互补条件。经有限元离散后，无摩擦接触问题被归结为二次规划（线性互补）问题求解。数学规划法解有摩擦接触问题的关键在于将摩擦条件表示成互补形式，一种方法是利用凸分析理论，另一种方法是引进惩罚因子。有了摩擦接触条件的互补关系，就可以利用参变量变分原理或虚功原理建立摩擦接触问题的有限元二次规划（线性互补）模型。对这类线性互补问题常采用Lemke算法求解。

对三维摩擦接触问题，为了能利用线性互补方法求解通常以多面体棱锥近似代替Coulomb圆锥，从而实现滑动函数的线性化，但该方法大大增加了问题的求解规模，为尽量减少线性化所增加的求解规模，有学者提出了参数二次规划迭代算法、序列线性互补方法等。然而三维摩擦接触问题本质上属于非线性互补问题，由此出发可以建立非线性-互补接触力法模型和非线性互补-接触位移法模型。

数学规划方法在弹塑性接触问题的应用，通常用迭代法反映材料非线性特征，在每次迭代中用数学规划方法求解接触问题。然而钟万勰等利用参变量变分原理将接触问题和弹塑性问题表示成具有相同形式的有限元参数二次规划问题，方便地实现了弹塑性接触问题的数学规划解法。

接触力的可逆性和不可逆性

不可逆过程是指在对应的加载路径下，接触面之间由于摩擦的存在，使接触内力出现不可逆性，接触内力与加载路径有关，这样情况下的接触问题应该按增量法求解。可逆过程是指在接触面无摩擦的情况下，接触内力只跟受力状态有关，与加载路径无关。

每个接触点对只可能有三种接触状态，即贴合状态、滑动状态和分离状态，而且肯定对应其中一种状态。

（以上 From 三维摩擦接触问题数值解法及工程应用 高云开 同济大学工学硕士 2007）

The solution methods to contact problems can be broadly classified into three categories. The earliest solutions to contact problems have been obtained using integral equation methods. In the second method contact problems are considered as a special case of constrained minimization of either total or complementary potential energy. The minimization is formulated as a mathematical programming problem and the solutions are obtained by using either incremental linear programming or quadratic programming techniques. The minimization problem

对于复杂多体接触，各实体间相互作用相当复杂。这类接触问题很难用赫兹公式来处理，只能用有限元法进行数值求解。有限元法有两类模型：一类是惩罚弹簧法，通过在接触界面上设置法向和切向弹簧来模拟接触行为；另一类是拉格朗日法，通过拉格朗日乘子来间接得到物体间的接触力以模拟接触行为。

利用变分原理建立的有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件。因此它可以用来处理复杂的连续介质问题。从20世纪60年代开始，进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限元求解方程。有限单元法主要采用Galerkin法，它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件、但是变分的泛函尚未找到或根本不存在的情况，进一步扩大了有限单元法的应用领域。

赫兹公式能较真实地反映接触应力分布和接触变形，且计算方便，所以工程实际中人们广泛采用赫兹公式处理接触问题。但赫兹公式要把接触问题分为：轴线平行的两圆柱体接触、不同半径的两球体接触以及他们的演化形式（如球与平面）等接触形式。所以有时不能反映工程实际中各种复杂的接触状态，使得赫兹公式的应用范围受到限制。

接触问题是一种高度非线性行为，求解中存在两个难点：一是在求解之前不知道接触区域。随载荷、材料、边界条件和其他因素的不同，表面间可能发生接触或分离，而且状态可能突然变化；二是大多数接触问题要考虑摩擦，而摩擦使得问题的收敛性愈加困难。除此之外，许多接触问题还必须涉及多物理场影响，如接触区域的热传导、电流等，增加了求解的难度。

与点-面接触单元相比，面-面接触单元的几项优点：

支持低阶和高阶单元；

支持有大滑动和摩擦的大变形，协调刚度矩阵的计算；

提供工程要求的更好的接触结果，例如法向压力和摩擦力；

没有目标面形状的限制，目标面的不连续可能是由于自然的或网格离散所引起的；

需要相对较少的接触单元，因此磁盘空间需求及CPU计算时间相对较小。

所有的接触问题都需要定义接触刚度，两个表面之间渗透量的大小取决于接触刚度。过大可能引起总刚矩阵病态而造成收敛困难。一般来说应选取足够大的接触刚度以保证接触渗透小到可以接受，但同时又应该让接触刚度足够小以便不引起总刚病态从而保证收敛性。

利用变分原理建立有限元方程

参考文献 [1]。

[1]           N. Chandrasekaran, et al., "Finite element analysis of Hertz contact problem with friction," Finite Elements in Analysis and Design, vol. 3, pp. 39-56, 1987.