妞妞喜欢美食，这一点好像是遗传于爸爸。爸爸有北京许多餐厅的优惠卡，知道基本上所有的菜系在北京的代表餐厅和代表菜品，而且爸爸经常出差，全国各地、世界各地的美食都有机会品尝。不过爸爸现在有些胖了，不能再多吃，同时因为担心妞妞将来可能会长胖，也督促妞妞多运动。

妞妞学过滑冰，不过好像不是太有兴趣；也学过乒乓球，效果一般。游泳算一项喜欢的，羽毛球也算一项，不过这两样都没有系统学过，就是跟着爸爸玩，也就玩会了，而且兴趣盎然。对孩子而言，似乎那一项运动并不是很重要，重要的是和谁一起。

这一天妞妞很高兴，打羽毛球赢了一场，一回到家里就拉着爸爸要练习羽毛球。最近妞妞的体育老师让班里的所有羽毛球兴趣小组的成员进行排名赛，胜一场得一分，输一场得零分。妞妞在孩子们中间算是打得比较好的，自然是积极分子了。

“我们一共有28个同学参加羽毛球兴趣小组，我得打27场才行。是不是很强呀？”爸爸和妞妞在小区的步行街上一边打羽毛球，一边说话。孩子们的羽毛球也就是把球接起来打回去，没有什么速度，也谈不上什么角度、技术，所以打起来倒也没什么负担，一样可以从容说话。

“太强了！你有没有算过这样的话你们一共需要打多少场球？”爸爸觉得有些奇怪。

“老师没有说，怎么啦？”妞妞一边努力接球，一边回问道。

“爸爸估计一下大概得打378场球，就算是一场球只打21个，一节体育课打十场，要是打完那该到什么时候呀？这个学期看来是打不完了。”爸爸回答。

“我们一星期有两节体育课，不过别的课的老师还常常占用，兴趣小组每周有一次专门活动。以星期就算打三十场，也得有十三个星期，四个多月，确实不可能。”妞妞有些气喘，两个人停下来，休息一会。

“爸爸，你是怎么算的呀？”妞妞很好奇。

“就是拿28*27再除以2*1。其实说起来也简单，第一个人需要打多少场球呀？”妈妈问。

“27场。”妞妞答道。

“对，第二个人需要打26 场，因为他和第一个人的比赛已经在第一个人的27场中记录过了。第三个人需要打25场，第四个人需要打24场，如此下去。我们最好需要把她们都加起来，就是1+2+3+4+。。。。。+25+26+27=（1+27）*27/2=378。我计算这个和式的时候用的是高斯的简便办法，相信你还记得。”

“记得，就像是梯形的面积公式，上底加下底乘高除二。”妞妞快速地回答道。

“真棒！我们上次讲到的车牌号数学叫做排列，而比赛的计算叫做组合。他们的名称也是有意义的，排列讲究顺序，而组合没有顺序。比如比赛的计算，我们没有必要区别是A和B比还是B和A比，对不对？”爸爸继续这个话题。

“那淘汰赛就不一样了，对不对？”妞妞突然想到了即将要进行的乒乓球比赛。

“对呀，如果有N支球队参加淘汰赛，我们先设它是2的指数值。要产生冠军，我们最少需要N/2+N/4+N/8+。。。+N/N。比如8支队，就需要8/2+8/4+8/8=4+2+1=7场赛事。前四场决出四强，两场半决赛决出头两名，最后决赛决出冠亚军。当然实际上我们还需要其他的比赛来决定第三第四。”

“参加的队伍要不是2的指数值呢？”妞妞觉得要求参赛队伍一定满足2的几次方不太合理。

“那要复杂一些。你知道比赛是由人们创造出来的一种游戏，所以淘汰赛我们一般都预先规定参加的队伍个数，比如世界杯足球赛有32支球队参加，也就是2的5次方支球队。我们先分为八个组，每个组四支球队，对内循环赛。每一个小组的循环赛需要赛4*3/2=6场。8组共赛8*（4*3/2）=48场。每个小组赛的前两名进入16强，之后的赛事就是淘汰赛了。16支球队的淘汰赛最少需要16/2+16/4+16/8+16/16=15场。简单计算就是16进8（俗称八分子一决赛）赛8场，8进4（俗称四分子一决赛）赛4场，4进2（半决赛）2场，决赛1场。

淘汰赛和循环赛各有优缺点。淘汰赛的缺点是四名以后的队是根据淘汰赛的进球数、净胜球数排的名，彼此可能并没有在一起交过手。循环赛的缺点就是场次太多。所以我们经常看见混合使用，就像世界杯这样的。”

妞妞和爸爸打完球，回到家里的餐桌边喝水。爸爸拿出一张纸说：“如果我们有八个不同颜色的球，放在密封的坛子里。每次拿出三个，请问有多少种可能？”

“这有点难，我先用1到8这八个数字分别代表这8个小球。”妞妞喝了一口水，拿起笔开始在纸上写：

123、124、125、126、127、128：总共6种

134、135、136、137、138：总共5 种

145、146、147、148：总共4 种

156、157、158：总共3种

167、168：总共2 种

178：总共1 种

所有包括1 的可能有1+2+3+4+5+6=（1+6）*6/2=21种

234、235、236、237、238：总共5 种

245、246、247、248：总共4 种

256、257、258：总共3 种

267、268：总共2 种

278：总共1 种

所有包括球2，但不包括球1的可能有1+2+3+4+5=15

345、346、347、348：总共4种

356、357、358：总共3 种

367、368：总共2 种

378：总共1 种

所有包括球3，但不包括球2和球1的可能性有1+2+3+4=10

456、457、458：总共3种

467、468：总共2 种

478：总共1 种

所有包括球4，但不包括球1、2、3的可能有1+2+3=6

567、568：总共两种

578：总共1 种

所有包括球5，但不包括球1、2、3、4的可能有1+2=3

678：总共1种

所有包括球6，但不包括球1、2、3、4、5的可能有1种

所有的可能性就是1+3+6+10+15+21=56。

作完了，妞妞长出了一口气，脸上的汗直往下流，“还真不容易！”妞妞擦擦汗，又喝了一口水。

“妞妞作的非常正确！真的是好棒呀！爸爸觉得妞妞这一段时间的学习进步非常快。我和妈妈都很高兴。对于排列和组合，我们有两个公式。在M个中取出N个，如果N个的顺序不同，会有不同的情形时，就是排列，那么它有M*（M-1）*（M-2）。。。*（M-N+1）种。简单的记忆就是从M开始，往后数N个数字，把他们连续相乘。

比如从从班上40 位小朋友中选三位，分别给语文、数学、英语老师献花，就有40*39*38=59280种选择。这个公式我们把它叫做排列公式。

在M个中取出N个，如果N个不讲顺序的话就是组合，组合的计算公式是：

M*（M-1）*（M-2）。。。*（M-N+1）/ N*（N-1）*（N-2）。。。*3*2*1。如果要记住的话就是先计算M里面取N个的排列值，再除以从1、2、3一直乘到N。这也叫组合公式”

爸爸一边说，一边在纸上写下这两个公式。“就拿刚才的这个问题来说，8个里面取出3个，没有顺序，计算就是 8*7*6/3*2*1=56。是不是很简单？”

“哇，确实如此耶！你是怎么得到这个公式的呢？”妞妞又瞪大了眼睛。

“其实就是更据你的计算来求和而已，不过计算和推导有点复杂，我们就不讨论了，公式记住了就行了，我们今天的数学话题也就到这里了。”