“什么东西是无穷无尽的?”妞妞问爸爸。

妞妞今年十岁，上小学五年级，是一个十分聪明的女生，有着一对充满好奇和探索光芒的大眼睛，总希望能提出一些有趣的问题把爸爸难住。这是在十一黄金周假期青岛的海滨，天气晴朗，海风阵阵，海滨浴场还有不怕冷的人在游泳。

妞妞问：“大海那边是什么呢？”茫茫大海的尽头，只看见海天分隔的一条线，线上面是蓝蓝的天空，挂着几丝白云；线下面是深蓝色，甚至有些深绿颜色的大海，海上有几条大货船，似乎凝固在海中。

“海是有尽头的，海的那边近一点说是日本，远一些说是美洲大陆。”爸爸回答道。

“那么沙子是不是无穷无尽的呢？”妞妞问道。

“当然不是，沙子到底有多少粒，我们或许不太容易数的清，但是它肯定是有数的。”爸爸沉吟了一会儿，想着如何把这个问题讲得更加清楚一些。“地球的重量是一个固定的数，尽管它很大，但它所包含的物质是有限的。所以地球上的沙子肯定也是有限的。”

“我知道，数字是无限的。”妞妞眨巴着明亮的眼睛继续说，“1，2，3，4，5，6，7，。。。。。没完没了，直到无穷无尽。”

“妞妞真是个爱动脑筋的好孩子。的确，自然数是没有穷尽的，但是你想过没有是自然数多，还是偶数多呢？”爸爸还是挑战妞妞的思维了。

“当然是自然数多罗，因为偶数没有1，3，5，7这样的奇数嘛！”妞妞微笑，觉得这是一个很容易回答的问题。

“那么现在假设你那一副扑克牌，上面都是自然数，我拿一副扑克牌，上面都是偶数，我们比一比看看谁的牌多好不好？”“好呀！”妞妞觉得这个游戏不会有什么意思，但是爸爸平时都不让她玩扑克牌，这样的扑克游戏玩一玩也不错。

“你每出一张牌，我都出它的两倍数这张。比如你出1，我就出2；你出2，我就出4。这样你出任何一张牌，我总有牌和你对应。”爸爸含笑看着妞妞，“那么，我的牌怎么会比你的牌少呢？”

“可是我有你没有的牌呀，你怎么能够和我的牌一样多呢？”妞妞十分困惑。

“我们说的个数的概念，在无穷的世界里，失去了度量的意义。这好像有些奇怪，而且过去也让许多数学家们困惑过。”爸爸希望能用尽量简单的语言把这个问题说清楚。“比如偶数是一个无穷的数字队列，把其中任意多个数字拿掉，当然指有限个数字拿掉，剩下的数字依然是一个无穷数字序列，我还能和你玩扑克游戏，把它和你的自然数一个对一个出牌。”

“比如我把从2开始一直到1，000，000，000的偶数都拿走，从1，000，000，002 开始，你出任何一张牌，比如n，我就出1，000，000，000+2n，怎么样？我依旧是总有牌出。”

“那么一个无穷数列里去掉一个无穷数列后，也会剩下一个无穷数列吗？”妞妞似乎开始有些明白。“我的自然数队列里面把奇数列拿掉，剩下的是偶数，奇数列和偶数列都是无穷的数列。”

“这不一定总能成立，比如我们把自然数数列中的从1，000开始之后的无穷数列去掉，剩下的就是一个从1到1，000的有限数列了。”妞妞点了点头，表示自己已经明白。

“一般而言，数列的奇数项和偶数项各自单列，是能够构成两个无穷的数字队列的。实际上按照这样的方式，可以分出任意有限数字个无限数列，这个性质和有限队列中均分之后数量减少的性质完全不同。一百个士兵，均分为十对，每队就只能有十个，对不对？”爸爸希望这些没有让十岁的小脑袋瓜糊涂。

“但是一个无穷的数列，按顺序均分为1，000，000，000个数列，每一个数列都可以是无穷的数列。我们可以把第K个数列表示为 n*1，000，000，000 + K，其中n表示自然数。”

“就像孙悟空的分身法术，能变出许多的孙悟空，而自己一点都不受损失。”妞妞若有所思地说。

“这真是一个好比方！想一想，假如你有无穷的财富，那么你分给地球上的每一个人，每一个人都会拥有无穷的财富。这是不是很奇妙？可惜这种事情只能在无限的世界里才能发生，人们还没有办法找到拥有无穷无尽现实财富的方法。”

妞妞点点头，表示自己明白了，“这确实太奇妙了！”爸爸接着说：“按照我们刚才说到的扑克游戏，我们也可以拿平方数和自然数一一对应，对不对？你出任何一个自然数，我就出它的平方。”

“对，但是这还是两个一样无穷的数列呀！”妞妞这次不再上当了。

“我们没有办法比较它们的个数多少，但是我们可以比较它们变大的快慢。妞妞，如果一个数比另外一个数大，那么它们的商有什么特点？”爸爸问妞妞。

“商应该大于1。”妞妞回答。

“n和n²都可以变得无穷大，但是它们跑向无穷大的‘速度’是不一样快的，显然n²要跑得快些。数学家们是这样定义的，如果 n²/n =n还是一个无穷大的量，那么我们就把n²叫做比n高阶的无穷大。如果这个商是一个常数，那么我们就称这两个无穷大量是同阶的无穷大量；如果它们的商是一个一次项，就叫分子为高一阶无穷大；商是二次项，就叫他高两阶的无穷大，依次类推。”爸爸慢慢地说，不想说的太快，让小孩子反应不过来。

“自然数列和偶数列是同阶无穷大量，可是自然数列不是比偶数数列变大快一倍吗？为什么它们还是同阶呢？是不是因为它们的差距还不够大？”妞妞很是为自己的数列不能比爸爸的数列高一阶而不平。

“这也没什么不自然的，快一倍没错，但是只是相差常数倍，对不对？在无限的世界里，常数意味着没有实质的改变。就像你上小学，一年级、二年级，直到五年级、六年级都是小学生，但是过了六年级，你就升初中了。”

看见妞妞陷入了深深的思索中。爸爸说：“无穷的概念可以类似地推广到负无穷大。比如我们把自然数扩展到负数，那么- n²和 –n（n代表自然数）相比，依旧是要快一阶的负无穷大量。还可以把它推广到无限接近某一个数，比如无限靠近0的数列1/n，当n变大时，它与0 的差距变小，而且越来越小，可以比你拿出的任何正分数都小，我们就说当n 趋近于无穷大时，1/n趋近于0。显然我们可以说1/ n²是比1/n高一阶的无穷量，只是这个时候它既不是无穷大量，也不是负无穷大的量，只是它们跑向0的速度比较。我们把无限接近0的无穷量叫无穷小量.实际上，这些结论当我们把n 换成实数x 是，也是成立的。”

妞妞说：“这些有点难了，不过我知道了当我们进入无穷世界时，会发生许多神奇的事情。今天是不是就到这里，我还要去捡一些好看的贝壳。”

“没问题，只是你能不能在寻贝壳的同时也想一想，除了数字之外，世界上还有什么是无穷的，好不好？”爸爸微笑地看着往海边跑得妞妞。

“当然，没问题！我真希望我有无穷的贝壳！”