相同小球入盒问题是排列组合内容中的难点内容，学生对解决此类问题的“隔板法”很难理解，特别是当允许有空盒时，更是头疼不已，下面结合本人的教学实践谈谈对这个内容的处理意见。

相同小球入盒问题是指将若干个相同的小球放入不同的盒子，问有多少种放法的问题。根据放盒的不同要求可分为两类：一类为每个盒子至少有一个球，即无空盒；另一类为允许有盒子不放球，即允许有空盒。但无论哪一类，球必须放入盒子。

很多老师在这个内容的教学上，往往通过例题直接分析出“隔板法”，然后开始练习相关题目，这样处理的话，对第一类问题学生还可勉强接受，对第二类问题就有死记硬背之嫌了，经不住时间的考验！

讲引例时，我觉得没有必要开始就把学生往“隔板法”这条路上“逼”，而是要让学生从自己现有的认知角度来求解。

我的引例是“将10个相同的小球分给7个人。（1）每人至少有一个球有多少种不同的分法？（2）若允许有人没球，有多少种不同的分法？”

首先向学生解释清楚相同小球与不同小球的区别，然后请学生思考第（1）问，思考之后，学生的解答基本都是分情况讨论，即11人4球，其他6人每人1球，共C₇¹种分法；23人各2球，其他4人各1球，共C₇³种分法；31人3球，1人2球，其他5人各1球，共C₇¹ C₇³种分法。故分法总数为C₇¹ +C₇³ +C₇¹ C₇³=84。我想这才是最贴近学生现有思维发展区的方法。

在肯定了学生的这种解法之后，我开始引导学生学习“隔板法”：即将10个小球一字排开，小球与小球之间留下9个空，随机选取6个空插入6根板，从而将小球隔成6份，插空的方法总数C₉⁶，也即分法总数，故分法总数为C₉⁶=84种。应该说，每人都有球的背景的“隔板法”，学生普遍感觉容易接受。此时最好是在讲第（2）之前进行一下归纳：即将n个相同的小球放入m个不同的盒子，要求无空盒，共有多少种放法？思路为在小球之间的n-1个空中随机选取m-1个空，插入m-1根板，将小球分为m份，分法总数C_n-1^m-，也即放法总数。

接着进入第（2）问，不过若采取下面的讲法，学生会普遍感到困惑。讲法一：将7个人看作7个空盒，放到小球中间参与插板，将小球与空盒分成7份，共有C₁₆⁶种分法；讲法二：转化为无空盒的背景，即假定7个空盒中首先各有一个小球，故共有16个相同的小球，从而将问题转化为将16个相同的小球放入7个不同的盒子，要求无空盒，从而用“隔板法”可知共有C₁₆⁶种放法；讲法三：将其转化为不定方程的非负整数解的个数问题。对讲法一，学生会感到莫名其妙；对讲法二，对“假定7个空盒中首先各有一个小球”的说法感到突然，觉得没有根据，很是迷茫。对讲法三，感觉跳跃性太大，而且找非负整数解的个数也不是那么好找。

我觉得还是不能急于求成，还是要让学生已有的认知水平出发，先悟出自己的方法。经过一阵思考之后，有学生提出了自己的见解：转化为每人有球的背景下，即第（1）问的背景，分七种情况：1每人都有球，其实就是第（1）问，由“隔板法”知分法为C₉⁶；21人无球，其余6人有球，首先选1个无球的人，有C₇¹种选法，对其余6人来说，相当于10个相同小球放入6个不同的空盒，从而转化为无空盒的背景，由“隔板法”知分法为C₉⁵；分法为C₇¹ C₉⁵32人无球，其余5人有球，易知分法为C₇² C₉⁴；43人无球，其余4人有球，分法有C₇³ C₉³；54人无球，其余3人有球，分法有C₇⁴ C₉²；65人无球，其余2人有球，分法有C₇⁵ C₉¹；76人无球，1人有球，分法有。故知分法总数为C₉⁶ +C₇¹ C₉⁵ ＋C₇² C₉⁴ ＋C₇³ C₉³ ＋C₇⁴ C₉² ＋C₇⁵ C₉¹ ＋C₇⁶ C₉⁰。应该说，做到这里，题目差不多解决了！

但马上又面临新的难题，这个和难道要算“硬”的？如果数字弄得更大一些呢，那硬算更不是明智之举了，有没有好的算法呢？这时可引导学生找和式的规律与特点，很多学生会注意到后6个加数的上标之和均为6，但第一个加数却显得不“合群”，那能不能使它“融合”进来呢？相信马上有学生会提出只要将要将C₉⁶看成C₇⁰ C₉⁶即可，从而和式变为C₇⁰C₉⁶ +C₇¹ C₉⁵ ＋C₇² C₉⁴ ＋C₇³ C₉³ ＋C₇⁴ C₉² ＋C₇⁵ C₉¹ ＋C₇⁶ C₉⁰，下面开始考虑求这个和了，经过引导，学生想到了构造相等的二项式，然后利用对应系数相等。相等的二项式可构造为（1+x）¹⁷=（1+x）⁷（1+x）⁹,左边展开可得x⁶的系数为C₁₆⁶，右边展开可得x⁶的系数即为C₇⁰C₉⁶ +C₇¹ C₉⁵ ＋C₇² C₉⁴ ＋C₇³ C₉³ ＋C₇⁴ C₉² ＋C₇⁵ C₉¹ ＋C₇⁶ C₉⁰，故可得这个和即为C₁₆⁶ ，可算出结果为8008。本题至此终于得到了圆满解决！

接着要趁热打铁，立即对第二类问题进行归纳：将n个相同的小球放入m个不同的盒子，允许有空盒，共有多少种放法？仿照引例（2）问易知放法有C_m⁰C _n+m-1^m-1 +C_m¹ C _n+m-1^m-2 ＋C _m² C _n+m-1^m-3 ＋C_m³ C _n+m-1^m-4 ＋C_m⁴ C _n+m-1^m-5 ＋C_m⁵ C _n+m-1^m-6 ＋…＋C_m^m-1 C _n+m-1⁰，由对应二项式系数可知和为C _n+m-1^m-1。

但此时学生会反映得到那个和式分了太多的情况，中用不中看；直接用那个和的结果吧，结果又太难记，中看不中用。怎么办呢？最好的办法当然是让结果C _n+m-1^m-1变得好记。注意到它的结构和第一类问题的结果C_n-1^m-1类似，提示学生能不能构造另外一个排列组合题，它的方法总数也是C _n+m-1^m-1，经过思考讨论之后，有学生提出了下面的题目：将n＋m个相同的小球放入m个不同的盒子，要求无空盒，有多少种放法？它的答案刚好就是C _n+m-1^m-1种！于是可得到了两事件的等价性：将n个相同的小球放入m个不同的盒子，允许有空盒<=>将n＋m个相同的小球放入m个不同的盒子，无空盒。显然，后者处理更方便，从而可将前者转化为后者，可迅速写出结果，即C _n+m-1^m-1。

以上设计，是从学生的已有的认知角度出发，由远而近，由浅入深，循序渐进，让学生非常自然地理解并接受了“隔板法”。特别是对于第二类“允许有空盒”的问题，通过这样的处理，学生不再感到“隔板法”的抽象与生硬。即使对于更换背景的这种排列组合题，也能迅速将其转化为“相同的小球放入不同的盒子”的模型，并能找到里面的“小球”和“盒子”，从而可快而准的，并且舒服的用公式算出结果来。

通过本例再次说明：数学注重理解。公式、定理、解题方法的原理只有建立在理解的基础上才会印象深刻，才会感受到数学“和蔼可亲”的一面，才会经得住时间的考验！总之，一句话，理解万岁！