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Coons 曲面

    1964年，美国麻省理工学院S.A.Coons提出了一种曲面分片、拼合造型的思想，Bezier曲面和B样条曲面的特点是曲面逼近控制网格，Coons曲面的特点是插值，即通过满足给定的边界条件的方法构造Coons曲面。

基本概念

http://course.cug.edu.cn/21cn/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%CD%BC%EF%BF%BD%EF%BF%BD%D1%A7/Chapter3/CG_Gif_3_386.gif P(1,v)称为曲面片的四条边界，P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)称为曲面片的四个角点。P(u,v)的u向和v向求偏导矢：

http://course.cug.edu.cn/21cn/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%CD%BC%EF%BF%BD%EF%BF%BD%D1%A7/Chapter3/CG_Gif_3_387.gif

分别称为u线和v线上的切矢。边界线P(u,0)上的切矢为：

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同理：P_u(u,1),P_v(0,v),P_v(1,v)也是边界线上的切矢。

    边界曲线P(u,0)上的法向(指参数v向)偏导矢：

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称为边界曲线的跨界切矢，同理，P_v(u,1),P_u(0,v),P_u(1,v)也是边界曲线的跨界切矢。

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称为角点P(0,0)的u向和v向切矢，在曲线片的每个角点上都有两个这样的切矢量。

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称为混合偏导矢或扭矢，它反映了P_u对v的变化率或P_v对u的变化率。同样，

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称为角点P(0,0)的扭矢，显然，曲面片上的每个角点都有这样的扭矢。

双线性Coons曲面

    如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线P(u,0),P(u,1),http://course.cug.edu.cn/21cn/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%CD%BC%EF%BF%BD%EF%BF%BD%D1%A7/Chapter3/CG_Gif_3_393.gif

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图3.1.39 四条边界曲线

问题的解有无穷多个，我们来看一种最简单的情况。首先，在u向进行线性插值，可以得到以P(0,v)和P(1,v)为边界的直纹面P₁(u,v),如图3.1.40(a):

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    再在v向进行线性插值，可以得到以P(u,0)和P(u,1)为边界的直纹面  P₂(u,v)，如图3.1.40(b)：

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如果把P₁(u,v)和P₂(u,v)跌加，产生的新曲面的边界是除给定的边界外，迭加了一个连接边界两个端点的直边。为此，我们再构造分别过端点P(0,0)、P(0,1)及P(1,0)、P(1,1)的直线段：

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    然后，以这两条直线段为边界，构造直纹面P₃(u,v)：

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    P(u,v)可进一步改写成矩阵的形式：

http://course.cug.edu.cn/21cn/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%CD%BC%EF%BF%BD%EF%BF%BD%D1%A7/Chapter3/CG_Gif_3_399.gif

右端的三阶方阵包含了曲面的全部边界信息，称之为边界信息矩阵，其右下角二阶子块的四个矢量是曲面边界的端点，称之为曲面的角点。

    上面我们构造了双线性Coons曲面片，可以看出，用它来进行曲面拼合时，可以自动保证整张曲面在边界的位置连续。

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图3.1.40 以两条给定曲线为边界的直纹面

双三次Coons曲面

    双线性Coons曲面能够自动保证各曲面片边界位置连续，那么，曲面片边界的跨界切矢是否连续呢？我们对（3.1.20）对v求偏导后，代入v=0，可得 的跨界切矢：

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    可见，跨界切矢不仅与该边界端点的切矢有关，还与该边界曲线有关。因此，双线性Coons曲面在曲面片的边界上，跨界切矢一般不连续，也就是说，不能达到曲面片的光滑拼接。

    为了构造光滑拼接的Coons曲面，除了给定边界信息外，还要给定边界的跨界切矢。也就是说，构造出的Coons曲面片不仅以给定的四条参数曲线为边界，还要保持四条曲线的跨界切矢。假定四条边界曲线为：

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四条边界曲线的跨界切矢为：

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    我们不妨取Hermite基函数F₀,F₁,G₀,G₁作为调和函数，以类似于双线性Coons曲面的构造方法，构造双三次Coons曲面。在u向可得曲面P₁(u,v):

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在v向可得曲面P₂(u,v)：

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对角点的数据进行插值，可得曲面P₃(u,v)：

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http://course.cug.edu.cn/21cn/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%CD%BC%EF%BF%BD%EF%BF%BD%D1%A7/Chapter3/CG_Gif_3_408.gif

    在式（3.1.21）右边的五阶方阵（即边界信息矩阵）中，第一行与第一列包含着给定的两对边界与相应的跨界切矢，剩下的四阶子方阵的元素由四个角点上的信息组成，包括角点的位置矢量、切矢及扭矢。

    观察方程（3.1.20）与（3.1.21），可以发现：对曲面片满足边界条件的要求提高一阶，曲面方程中的边界信息矩阵就要扩大二阶，并且要多用一对调和函数；边界信息矩阵的第一行与第一列包含着全部给定边界信息；余下的子方阵则包含着角点信息。认识了这些规律后，就能容易地构造出满足更高阶边界条件的Coons曲面方程。