负数的产生及意义

曲阜师大附中  273165   宋翠华

山东交通学校  26400   王金城

世界上最早最详细记载负数概念和运算法则的，是我国公元一世纪出版的《九章算>书中方程章第三题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中、中取下，下取上，各一秉，而实满斗。问上中下禾实一秉各几何？”这段话的意思是：设上等稻棵2束，中等稻棵3束，下等稻棵4束，出谷后都不满1斗。如果将上等稻棵2束加中等稻棵1束，或者将中等稻棵3束加下等稻棵1束，将下等稻棵4束加上等稻棵1束，或者将中等稻棵3束加下等稻棵1束，将下等稻棵4束加上等稻棵1束，那么出谷正好都满1斗，问上、中、下等稻棵一束各出谷多少？如分别设上、中、下各禾一秉的谷子量是x，y，z，则按题意列的方程是：

用《九章算术》的直除消元法（类似加减消元法），必然会出现从零减去正数的情况，要使运算进行下去，就必须引进负数。   

《九章算术》的“正负术”就是紧接着这个题目之后提出的，这是世界数学史上最卓越的成就之一。“正负术”的全文是：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异明相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。   

前四句是讲正负数以及零之间的减法，意思是“同号相减，异号相加，以零减正得负，以零减负得正。后四句是讲正负数以及零之间的加法，意思是“异号相减，同号相加，零加正得正，零加负得负。”显然这是完全正确的。   

至于正负数的乘除法则，《九章算术》在解方程中未必不遇到正负数的乘除运算，可惜书中未记载。例方程章第八题（即九年义务教育三年制初级中学代数第一册（下）第49页第4题）用直除法解之，从计算过程看，不仅遇到正负数的乘法运算，也遇到了正负数的除法运算，可见正负数的乘除法则已被使用，只是书中没记载而已。直到元代杰出数学家朱时杰1299年撰写的《算学启蒙》中才明确指出，正负数的乘法法则是“同名相乘为正，异名相乘为负”。对除法，朱时态虽未明确指出法则，但他在1303年撰写的《四元五鉴》中出现了正负数的除法运算，其法则归纳起来不外乎是“同名相除为正，异名相除为负”。这样到公元十三、十四世纪我国的正负数四则运算法则已臻于完整。   

世界上除了我国外，负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。   

印度数学重视计算，所以认识负数稍早一些。公元七世纪，婆罗摩芨多开始认识负数并给出负数的运算法则。他对负数的解释是负债与损失。十二世纪，拜斯伽逻在《算法本原》中比较全面地讨论了负数，他得出：“正数、负数的平方，常为正数；正数的平方根有两个，一正一负”还说：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数”。   

希腊数学注意几何而忽视计算，他们几乎没有建立过负数的概念。阿拉伯人虽然通过印度人的著作了解到负数和负数的运算，但他们却摒弃负数。   

在十二、十三世纪正负数传入欧洲，但并不被接受，到十五世纪在方程的讨论中出现负数。1484年法国的舒开曾给出二次方程的一个负根，不过他没有承认它，说负数是荒廖的数。1545年卡尔丹在《大法》一书中广泛使用了负数，并出现了虚数。十八世纪以前，欧洲数学家对负数大都持保留态度。他们被当时盛行的机械论框住了头脑，认为零是最小的量，比零还小是不可思议的，看不到正负数间的辩证关系。甚至在十八世纪少数数学家，如英国的马塞雷和德·摩尔根，还认为负数是荒谬的数，应该从代数中驱逐出去。由于负数的运算法则在直观上是可靠的，它并没有在计算上引起麻烦，所以人们还是理直气壮的加以使用着。正如法国数学家达朗贝尔所说：“对负数进行运算的代数法则，任何人都是赞成的，并认为是正确的，不管他们对这些量有什么看法。”由于欧洲掌握正负数及其运算太晚，所以在方程史上，欧洲数学家取得的许多享誉世界的成果，都比中国的晚四、五百年甚至一千七八百年。

参考文献

[1] 袁小明．数学史话．济南：山东教育出版社，1985．3

[2] 中外数学简史编写组．中国数学简史，外国数学简史．山东出版社，1986．8

[3] 美H·伊夫斯著，欧阳绛译．数学史概论．山西人民出版社，1886 3

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摘自《中学数学杂志》2000年第5期（总第124期）

曲阜师范大学《中学数学杂志》编辑部（273165）