笔者偶然在百度数学吧中数论吧中发现网友‘智力5000通’关于数论的一些发现，发现其发现竟然与笔者不约而同，甚至从时间上看还早于笔者。下面罗列智力5000通网友的数论发现。

1 ██重大发现██ 　2^n-1形式的数 所包含的规律

我用数学软件把2^n-1形式的数进行质因数分解（n为自然数 且n≠1） 

琢磨了好几天，总算能够全面概括其中的规律了！ 

先看看n为质数的情况 

n为质数，则2^n-1被n除余1。 

这时，若2^n-1为合数，那么2^n-1包含的每个质因子被n除也都余1。 

例如11为质数，2^11-1=2047， 2047被11除余1。 

2047=23*89， 23、89被11除也都余1。 

再看看n为合数的情况 

列出n的所有真约数a、b、c、d…… 

算出2^a-1、2^b-1、2^c-1、2^d-1……的最小公倍数X 

则2^n-1 一定能被X整除 

例如 

12为合数 

12的真约数有1、2、3、4、6 

2^2-1、2^3-1、2^4-1、2^6-1 的最小公倍数X=315 

所以2^12-1能被315整除 

20为合数 

20的真约数有1、2、4、5、10 

2^2-1、2^4-1、2^5-1、2^10-1 的最小公倍数X=5115 

所以2^20-1能被5115整除 

这时，用2^n-1除以X，得到整数Y 

若Y为质数，则Y被n除余1。 

例如 2^12-1 除以315， 得Y=13， 

13为质数，13被12除余1。 

若Y为合数，那么Y包含的质因子当中， 

小于n的则为n的约数，大于n的则被n除余1。 

例如 2^20-1 除以5115， 得Y=205， 

205 =5*41， 5是20的约数， 41被20除余1。