我2017年曾经在一篇文章结尾让有兴趣的人算一下NBA季后赛中出现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率。

六年过去了，似乎没有人愿意算，所以我写了这篇文章。

NBA季后赛由16支球队参加，采取淘汰赛赛制，共四轮，其中前三轮是东部/西部八支球队根据常规赛排名确定对阵方式，捉对厮杀，每轮淘汰一半球队，直至决出东部冠军和西部冠军；第四轮则是东部冠军和西部冠军的总决赛。

从2003——2003赛季开始，每轮每对交锋的球队都采取七场四胜制的赛制比赛（此前第一轮采取五场三胜制），七场就意味着有犯错的余地——如果一两场比赛没打好，但后面的比赛打好了，依然有晋级的可能——所以NBA季后赛不乏在0：2落后甚至1：3落后的情况下逆转晋级的情况。

但让人饶有兴趣的是，截止到2021——2022赛季，NBA季后赛从来没出现过0：3落后的情况下反败为胜的情况，这就引起了大家的兴趣。大家不禁要问，这种情况出现的概率有多大。

本文探讨一下这个问题。

首先假设最简单的情况，即甲乙两队对阵，每场比赛甲获胜的概率都是50%（当然，乙获胜的概率也是50%）；这样，0：3落后的情况下4：3反超的情况分成两种：一是甲3：0领先被反超，二是乙3：0领先被反超。令前者出现的概率为Pa，后者出现的概率为Pb，出现3：0领先被反超的情况的总概率为P，则：

这个数确实很小，为1/64；但问题是，从2003——2003赛季到2021——2022赛季，NBA季后赛进行了300次七场四胜制对决了（每年15次），算上此前56年的七场四胜制对决数（少的一年3次，多的一年7次），NBA季后赛有过好几百次七场四胜制对决，这么多次，发生率1/64的事情怎么也能出现几次吧！为什么一次没有呢？

主要原因有两点：第一，NBA的比赛分主客场，主队有主场优势，第二，NBA的球队有强弱之分。

设主场数多（四个主场）的球队为甲队，主场数少（三个主场）的球队为乙队；根据NBA的赛制，前三场和后三场都是甲有两个主场，乙有一个主场，第四场则是乙主场，设甲主场获胜的概率为ρ，乙主场获胜的概率为μ，令甲3：0领先被反超的情况出现的概率为Pa，乙3：0领先被反超的情况出现的概率为Pb，出现3：0领先被反超的情况的概率为P，则：

这是个二元函数，根据ρ和μ的取值不同，P可以取极值。

ρ和μ理论上的取值范围是0≤ρ≤1和0≤μ≤1；但ρ和μ当中任何一个量取0或1，P都会为0，NBA季后赛中出现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率将失去讨论的价值，故本文当中一切概率都不会取0或1（当然两个概率的差值可以是0），故认为0＜ρ＜1，0＜μ＜1；而在这个范围内，∂P/∂ρ=0且∂P/∂μ=0时有可能取极值。

那么在这个范围内，唯一一种满足∂P/∂ρ=0且∂P/∂μ=0的取值方式就是ρ=μ=0.5了；经检验，该情况下P取极大值（即之前所说的0.015625）。

而如果μ不变，用和式相同的方法求dP/dρ的话，则ρ=0.5时dP/dρ=0，P取极大值，则ρ越接近0.5，P越大；如果ρ不变，用和式相同的方法求dP/dμ的话，则μ=0.5时dP/dμ=0，P取极大值，则μ越接近0.5，P越大。

总之，如果想让NBA季后赛中出现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率（P）尽可能大，则应当让ρ和μ都接近0.5，最好都等于0.5。

但事实上，由于主场优势和实力差距，对于任意甲乙两支球队而言，ρ=μ=0.5的情况是不会出现的；即便是ρ和μ都接近0.5的情况也基本上不可能出现（只有一个量接近0.5是很可能的，但如果强队客场打弱队获胜的概率在0.5左右，那么强队主场打弱队获胜的概率应该明显比0.5高一些，还在0.5左右几乎不可能）。

那么考虑主队在主场的优势，再考虑球队有强弱之分，什么情况下出现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率大呢？

先假设较为简单的情况，甲乙两队实力相同，0.5＜ρ=μ＜1。

将ρ=μ代入式，则：

显然，0.5＜ρ＜1这个区间内dP/dρ＜0，P单调减。这意味着，在两支球队实力相同的情况下，主场优势越明显，ρ越大，出现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率越小。

那么如果甲乙两队实力不同呢？

针对实力不同的情况，本文假设一个游戏模型，即把NBA视为游戏，球队实力可以调节，并且玩家可以多次重复模拟比赛求得某一实力差距下双方主/客场胜率。如果在季后赛中对阵的两支球队（甲乙两队）的实力相同，则认为两队主场获胜的概率都是ρ（ρ未知），客场获胜的概率都是1-ρ；如果实力不同，则视为游戏中调节球队实力，使得其中一支球队实力增强，主场获胜的概率相比于ρ有所提高，客场获胜的概率相比于1-ρ也有所提高。当然，NBA不是游戏，真实的情况比游戏复杂。

那么，想让P尽可能大，还是ρ和μ都尽量接近50%为好；但实力不同的话，ρ和μ的取值都取决于实力差距，如果其中一个量自由变化，则另一个量就没法自由变化——哪怕你把NBA视为游戏，并且游戏中，玩家可以自由调节球队实力，并通过调节实力的方式调节胜率，那么原先甲乙两队主场获胜的概率都是60%，现在你觉得这样不行，得让甲主场获胜的概率增大，于是调高了甲的实力，然后发现甲主场获胜的概率变成了70%；你还觉得不够，继续调高甲的实力，甲主场获胜的概率变成了80%，你终于满意了，但这样一来甲乙两队的实力差距也确定了，甲客场获胜的概率就不能自由调节了；反过来，自由调节甲客场获胜的概率，甲主场获胜的概率就不能自由调节了。

先前甲乙两队实力相同，甲主场获胜的概率为ρ，客场获胜的概率为1-μ（同时也是1-ρ），那么现在甲实力增强了，主场获胜的概率比原先的ρ大了，客场获胜的概率也会比原先的1-μ大，甚至有可能大于0.5，这样，新的μ是比原先更接近0.5还是更远离0.5就不好说了。

比如说原先甲主场获胜的概率（即ρ）为0.6，客场获胜的概率（即1-μ）为0.4，现在甲实力提高了，ρ肯定会高于0.6（远离0.5），而μ和1-μ有可能比原先更接近0.5（如μ变成0.45，1-μ变成0.55，或1-μ变成0.45，μ变成0.55），也有可能比原先更远离0.5（如μ变成0.35，1-μ变成0.65）。

那么看式，一共6个因子（ρ、ρ、1-ρ、1-ρ、μ、1-μ）相乘，在取值范围内，ρ远离0.5时，第1、3个因子相乘的结果会减小，第2、4个因子相乘的结果会减小（这都会让P减小），但如果μ接近0.5，则第5、6个因子相乘的结果会增大，这会让P增大——这样，P会增大还是减小就不好说了。

比如原本ρ= 0.6，1-μ=0.4，代入式，P=0.013824。现在甲实力增强了，1-μ提高到0.5了，如果ρ提高到了0.62，代入式，则P≈0.013877（增大了）；如果ρ提高到了0.63，代入式，则P≈0.013590（减小了）；如果ρ提高到了0.7，代入式，则P≈0.011025（减小得更多了）。

看来既考虑主场优势，又考虑可能存在的实际差距（相比于假设双方实力相同，只考虑主场优势），有实力差距相比于没有实力差距不一定会让P减小——也就是说，考虑主场优势，有可能双方有一定实力差距倒有可能让NBA季后赛中出现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率大一些。

当然现在可以确定的是，如果甲队实力增强，1-μ（相比于甲乙两队实力相同的情况下的1-μ）有所提高（提高到接近0.5的数），那么只有在ρ提高得少的情况下，P才有可能提高。原因是ρ增大，ρ、ρ、1-ρ和1-ρ的乘积减小，ρ增大得越多，ρ、ρ、1-ρ和1-ρ的乘积减小得越厉害，所以想让P增大，一方面要让1-μ接近0.5，μ和1-μ的乘积增大，另一方面要让ρ不要增大得太多，ρ、ρ、1-ρ和1-ρ的乘积也不要减小得太多。上文的例子也是这样反映的。

但现在问题来了，原本甲队主场胜率是60%，客场胜率是40%，现在甲实力增强了，客场胜率提高到50%了，主场胜率却只提高到一个不到63%的数，这可能吗？

就现实的情况看，不太可能，弱队靠主场优势将自己的主场胜率勉强维持在50%左右，那么强队主场胜率非常高才更有可能。

而且随着ρ和1-μ增大，第1、3个因子相乘的结果减小，第2、4个因子相乘的结果减小，第5、6个因子相乘的结果有可能会增大（只是有可能）——显然，是减小的量更多，支持P减小的一方的优势更明显。

不过为了谨慎起见，还是假设甲队客场胜率提高多少个百分点，主场胜率也提高多少个百分点，以此算一下。

设原本甲队主场胜率为ρ，客场胜率为1-ρ，现在主客场胜率都提高了100a个百分点，则甲队主场胜率变成了ρ+a，乙队主场胜率变成了ρ-a（a需要满足0.5＜ρ+a＜1和0＜ρ-a＜1），再设新的0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率为P2，则：

将式和式对比。

P由6个因子相乘：

ρ、ρ、1-ρ、1-ρ、μ、1-μ。

当ρ=μ时，P由6个因子相乘：

ρ、ρ、1-ρ、1-ρ、ρ、1-ρ。

P2由6个因子相乘：

ρ+a、ρ+a、1-(ρ+a)、1-(ρ+a)、ρ-a、1-ρ+a。

P的1、3因子相乘的结果是ρ(1-ρ)（设为A式）；

P2的1、3因子相乘的结果是(ρ+a)[1-(ρ+a)]（设为B式）；

P的2、5因子相乘的结果是ρ(ρ)（设为C式）；

P2的2、5因子相乘的结果是(ρ+a)(ρ-a)（设为D式）；

P的4、6因子相乘的结果是(1-ρ)(1-ρ)（设为E式）；

P2的4、6因子相乘的结果是[1-(ρ+a)][1-(ρ-a)]（设为F式）。

由于ρ-a＞0，故A式＞B式，C式＞D式，E式＞F式；这样，P是三个较大的因子相乘，P2是三个较小的因子相乘，故P＞P2。

故，如果甲客场胜率提高多少个百分点，主场胜率也提高多少个百分点，则甲队实力增强（相比于甲乙两队实力相同），会让P变小；看来客场胜率有所提高，主场胜率只有在只提高（相比于客场胜率增加的百分点）很小的百分点的情况下，才能让P增大——就像前文的例子，客场胜率由40%提高到50%（提高10个百分点），主场胜率从60%提高到70%（也提高10个百分点）会让P减小，哪怕只提高3个百分点也会让P减小，提高2个百分点才会让P增加。

而事实上，甲乙两队主场胜率相同，把甲队换成实力更强的甲+队，甲+队客场胜率比甲队高的百分点较多，主场胜率比甲高的百分点很少（比如客场胜率提高10个百分点，由40%变成50%，主场胜率只提高2个百分点，由60%变成62%）的可能性即使存在也非常小，所以在考虑主场优势的前提下，主场优势会让出现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率减小，而靠两队实力差距“挽回”概率基本上不可能。

当然以上是假设甲队（主场数多的球队）实力更强，那么如果乙队实力更强呢？

当然这种情况不多见，因为NBA季后赛每组对阵的主场数是根据两队常规赛成绩决定的，谁常规赛成绩好，谁会获得更多的主场数。如果乙队实力更强，那么乙队为什么不在常规赛多赢一些场次，让自己获得主场优势？

不过NBA季后赛“实力颠倒”的情况还是有一些的，所以还是算一下实力较弱的一方的主场数多的情况下，现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率（比起两队实力相同的情况）有没有可能更大一些。

依然考虑强队客场胜率提高多少个百分点，主场胜率也提高多少个百分点的情况，设原本甲队主场获胜的概率为ρ，客场获胜的概率为1-ρ，现在乙队实力增强，甲队主场胜率变成了ρ-b，客场获胜的概率变成了1-ρ-b，再设新的0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率为P3，则：

将式和式对比，可以发现如果实力较弱的球队主场数更多，则出现0：3落后的情况下4：3反超的情况的概率高于双方实力相同的情况下出现这种情况的概率是有可能的。

以ρ=0.6为例：

若b=0，则P3=0.013824（即P）；

若b=0.06，则P3≈0.013846（相比于P增大了）；

若b=0.1，则P3=0.013125（相比于P减小了）。

甲乙两队原本实力相同，如果后来乙队实力提高了，客场胜率提高了六个百分点，那么乙主场胜率也提高六个百分点应该比较合理吧！