（一）备教师

      我们都知道，课堂上的主要对象有教师、学生和教学内容。而传统意义上的备课只是备教材，但是我觉得要想备好课、上好课，首先要备教师。什么是备教师？教师怎么自己备自己呢？从以下两点解释一下：更新、反思。

    更新就是更新观念。

    传统的数学习题课通常采用“知识点的回顾——典型例题讲解——巩固练习——归纳小结”的讲授型教学模式。

    这种习题课模式的优点是：体现了知识的系统性和框架结构、突出复习重点、题目练习容量大、密度高、节奏快、便于操作，达到教学目标用时较少。因此，长期以来广大教师乐于采用这种复习模式。但这种复习模式中，学生经常属于被动接受知识的地位，教师讲什么，学生就只能听什么，教师认为哪里需要重点讲，哪里需要突破难点就花大力气突破。

    但是它忽略了学生才是学习的主体的事实，导致在习题课中，学生缺乏学习的主动性、缺乏自主学习、合作研究的机会，缺乏及时有效的反馈，使习题课流于仅仅是知识点的简单罗列和大量的例题的呈现，使习题课的功效大打折扣。

 

    要提高习题课的有效性，我们教师必须要更新观念。

    学生的地位和作用：新课标理念下的数学习题课一定要突出学生知识的意义建构。根据建构主义理论，学生的学习是学生主体基于已有的知识和经验由学生自己主动、积极建构的过程。 这种建构不可由他人替代，学习者不是被动的刺激接受者，而是信息加工的主体、是意义的主动建构者。

    教师的地位和作用：教师不应是知识的传授者与灌输者，而应作为学生自主探究、合作交流、反思提高的指导者与合作者。

   教学过程：新课标理念下的数学习题课的教学过程，必须突出学生是学习的主体，关注学生的自主探索和思考，重视对学生思维、能力、发展性和创造性的培养，强调学生亲历体验并参与研究过程，学生获得对知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

    这些新的理念不仅武装了我们的头脑，更重要的是我们要把它落实在教学实践中。

    那么备教师的第二点是反思。

     反思教学中的得与失，反思学生学习效果的成因等等。 这样的反思对备好和上好一节课习题课起到重要的作用。

 

    举例：在有理数乘法的教学中，我们常会遇到这样的一道题目：_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image001.gif}。

    新课教学时教师引导学生思考如何运算简便，学生结合小学学习的经验可以想到将_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image005.gif}比较简便。那么为什么在作业中还是出现了错误呢？

错例1：http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image007.gif                        错例2:http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image006.gif

http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image011.gif

 

    发现都是符号写错了。 老师和学生都会分析错因，学生会按照老师的要求重新做一下这道题，并许诺下次仔细检查。

    学生和教师分析对比：

	错误现象	分析原因	措施
学生	符号错误	马虎	这次重做一遍； 许诺下次仔细检查
教师	符号错误	运算步骤不当	先确定符号，然后转化成学生在已经学会的知识解决

    学生经常在此出错，就应该引发教师进行反思：为什么错？和我的教学有什么关系？我怎样改变教学方法或者解题方法会对学生有帮助？

解法对比：http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image012.gif

 

    反思：对比两种解法，在新课的教学中可能更重视了对_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image014.gif}也没有错误；但是忽视了有理数运算的步骤，应该先确定符号，再计算绝对值。 并且方法2更符合学生的认知基础，他们在小学对_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image015.gif}这样的乘法运算做的比较好，我们应该加以利用。 经过认真反思，想出比较好的解决办法后进入课堂进行教学，针对性和有效性一定会大大提高。

（二）确定教学目标

    和新课一样，教师需要备教材、备学生。尤其是我们教师要清楚自己所教的学生的情况，他们哪里会了掌握的很好就不需要再重复，哪里不会或者已经发生了混淆的地方就是我们上课要解决的问题，某种重要方法运用的不够灵活，它就是我们要加强练习的。如此根据学生的具体情况而制定的教学目标可能和同备课组的其他老师不一样，但是它一定要适合您所教的学生的。

http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image016.gif  

     习题课的目标就是要通过本节学习，巩固哪些知识，扩展哪些知识，掌握哪些解题方法，理解和体验哪些数学思想，形成什么技能，这些都要有明确的目标。

举例：总复习之专题习题课----求代数式的值。

    在初三总复习的教学中制定教学目标的依据比其他年级增加了《考试说明》。如：对求代数式的值的要求是：“能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值（C级）”，属于较高要求。

我们来看几道近年的中考题和模拟试题：

（2008北京）已知x-3y=0, 求_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image017.gif}的值。

（2009北京）已知_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image019.gif}的值。

（2010铜仁）已知_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image021.gif}的值。

（2010模拟）已知_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image023.gif}的值。

 

    在初一和初二的教学中，没有达到这个要求，因此需要专题训练。

   “通过代数式的适当变形”就是对代数式进行化简，涉及的知识主要有整式运算、分式运算、二次根式的运算等，这些都是要求学生熟练掌握的，在本节课要加以巩固，因此教学目标定为：熟练进行整式运算、分式运算以及二次根式的运算。

   “合理选用知识和方法”主要是代入求值的方法，有的题目是直接代入，有时题目是将条件或者等价条件整体代入求值，对于整体代入是解决一些问题的重要方法，是本节课的重点，但是学生对其不很熟悉，属于需要扩展的知识，因此教学目标定为：掌握用整体代入求代数式的值的方法，体验换元思想。

如此，依据《考试说明》、根据学生的认知情况，对教材内容进行整合、加深和扩展是有依据的，保证教学的科学性和实效性。

（三）精心选择题目

    著名数学家波利亚也曾说过“掌握数学就是意味着擅于解题”。

    习题课作为一种重要的教学补偿手段，精选一些与教材内容相联系的习题展开分析和讨论，提高学生运用所学知识分析和解决较为复杂的具有灵活性和综合性问题的能力。一节习题课的质量的高低很大程度上取决于教师对习题的选择。

     ①例题的安排要有非常强的示范性。

    首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通解通法，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的数学思想，这样才能体现例题的典型性。教学过程中，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松。

    ②习题的配备要有阶梯性。

    习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新应用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级与级之间的“缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心。当然适当安排综合提高型和创新应用型习题，有利于程度较好的学生的学习和提高。需要注意的是,习题课中不仅要求学生得到正确的计算结果,更要重视计算过程,注重思维训练,让学生有所“悟”。

 

     ③习题的设计必须有一定的关联，比如，可以是同一个知识点的层层深化，也可以是一个知识点与不同知识在不同背景下的组合。

    关于变式练习和题组练习：我认为这两种练习的形式都非常好。伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。在习题课的教学中，如果我们灵活地改变题目的条件或结论，巧妙地把一个题目化成一组要求不同或难度不断变化的题组，不仅可以使学生易于掌握应用之要领，也可使学生能从前一个较简单问题的解答中领悟到解决后一个较复杂问题的途径，从而达到举一反三的目的。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能，培养学生创新能力。

     ④ 对例题和习题的安排，数量要适中。不要搞题海战术，但巩固基本知识、方法与技能培养的必要的题目还是要有的，要让每个题目具有代表性、典型性、示范性，并注意体现方法和规律，这样才能达到举一反三、事半功倍之效。

举例：初三的教学内容，《直线与圆的位置关系》，在新课之后发现学生面对切线的证明还是觉得比较困难。于是我设计了一节习题课——圆的切线的证明。

下面我就这节课具体谈一下习题课的备课问题。

首先是确定教学目标。圆的切线的证明是中考的一个重要考点，除了阅读研究《新课标》我还认真学习了《2010年中考数学学科考试说明》，《考试说明》对圆的切线的相关要求是一下几点，其中与本节课相关的是：B级要求“能判断直线和圆的位置关系”。

接着我分析了学生情况，对于圆的切线证明的两种主要方法：（1）已知圆心到直线的距离，利用d与r的关系进行判定（学生掌握较好）；（2）已知半径（联结半径），需要证明垂直关系进而应用定理进行判定（学生不能灵活运用）。 究其原因，主要是证明垂直关系时遇到困难。

基于以上分析，结合学生的认识基础，我确定了本节课的教学目标是：

【教学目标】

1．能灵活运用圆的切线的判定和性质解决相关的证明和计算；

2．在分析问题、解决问题的过程中探究解题的方法并逐步建立面对中考的自信心；

3．体会转化的数学思想。

【教学重点】圆的切线的判定和性质的应用。

【教学难点】灵活运用切线的判定和性质来分析问题和解决问题。

接着便是例、习题的配备。

课本例、习题均是经过专家多次筛选后的精品，教材丰富的内涵，是编拟中考试题的源泉。有的试题直接取自教材；有的试题是教材例题、习题的改变、延伸和拓展；有的试题是教材的几个题目、几种方法的组合。课本习题蕴含着无穷的魅力。所以，我建议老师们在题目的配备中，要优先考虑课本中例题与习题，或进行适当改编，编制一题多解、一题多变、一题多用、多题一法的习题，提高学生灵活运用知识的能力。

我经过大量的做题，发现课本（《北京市义务教育课程改革实验教材》第18册）中的一道习题与近年的中考题有着密切的关系，于是我决定将其选择为例题，然后根据其特点配备了3类题目。我们先一起看一下课本的的习题：

（是这样的一道题）

课本第18册《圆下》 P13。 B组 第4题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线。以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O。  http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image024.gif

（1）求证：BC为⊙O的切线；  

（2）若AC= 3，tan B=_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image025.gif}，求⊙O的半径。

这道题对于学生来说是有一定的难度的，一方面证明圆的切线是某些学生的弱项，另一方面本题中的圆是未知的，需要学生作出。于是引导学生根据题目中的已知条件“以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O”先要作出圆O。作AD的垂直平分线交AB于点O，然后以点O为圆心，OA的长为半径作圆得到满足题意的圆O。如何证明BC为⊙O的切线呢？学生容易想到联结OD，只需证明OD⊥BC。 垂直关系的证明是解决圆的切线的证明的关键，也是本节课的重点。 我们知道，结合题目中已知条件“∠C=90°”，可以将问题接着转化为证明“∠3+∠ADC=90°” 或者“OD∥AC” 。学生对于证明两角互余相对来说容易想到，由学生口述思路，然后全班总结得出证明垂直的一种有效的方法是证明“两角的互余关系”。然后请学生独立练习，本题是巩固刚才的方法。 课本的这道习题还有另外的证明方法，就是“OD∥AC”。 学生不易想到，于是我引导他们一起回顾初二的一道习题：

课本第15册《等腰三角形》 P110。A组 第4题http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image026.gif

已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，DE∥BA。

求证：△ADE为等腰三角形。

学生解决这个问题会比较顺利。

变式1：已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，AE=DE。

求证： DE∥BA。

变式2：已知：如图，在△ABC中，AE=DE，DE∥BA。

求证：∠1=∠2。

这个图形在三角形和四边形的学习中是常见的基本图形。学生对这个图形和结论都比较熟悉。在复习了基本图形后，学生从复杂图形中分离出基本图形就能解决这个问题了。或者从条件看有等腰三角形、有角平分线那么可能会出现平行线。如果这个图形与圆进行组合，那么等腰三角形可能会变成隐含条件，在圆中，两条半径就是等腰三角形的两腰。

前面已经对课本的一道习题进行了一题多解，培养了学生的分析能力和发散思维。下面是这道题的不同变式（选用的是今年的中考题和模拟试题，以加强针对性，同时有助于学生建立迎考信心），通过多题一解培养学生的识图能力和分析问题、解决问题的能力。

1．(2008年宣武二模试题)

如图，已知点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AB相交于点E，与AC相交于点F．试判断AD是否平分∠BAC．并说明理由．http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image027.jpg

   

本题与课本题目的区别是题设和结论互换了，证明难度不大。

2．(2009年丰台二模试题)

如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，AD是

∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．

(1)求证：BC是⊙O的切线http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image028.gif；

(2)求⊙O的半径．

 我们看一下本题与课本题目的联系，本题中直接给出圆，但是需要通过勾股定理的逆定理来判定“∠C=90°”。 也就是说，证明了“∠C=90°”就转化成已经解决的课本习题了。

3．(海淀二模)

如图AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，D是_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image030.jpg}

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若tanB＝_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image031.gif}，BE＝6，求⊙O的半径．

分析：本题中由于“∠E=90°”，只需证明OD∥BE。 已知中的“D是_{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image032.jpg}的中点”可知弧AD等于弧CD，因此所对的圆周角∠1=∠2，再由半径相等推出∠1=∠3，所以∠3=∠2，故OD∥BE。 本题还有其他证明方法，上课时要给予正确的评价。

4． (东城二模)

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image033.gif

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．

分析：根据已知条件“AE⊥CD，CF⊥AB，且CE＝CF”利用角平分线性质定理的逆定理可得AC平分∠EAB。后面易证。

学生通过多题一解的变式练习已经能够解决此类型的问题，可能会信心大增，同时会觉得这么简单啊，图形都是一样的，那么就换点不一样的看看。如：

5．(2009年顺义二模)

已知：如图，ΔABC中，AC=BC，CD⊥AC交AB于点D，点O在BC上，⊙O经过B、D两点，且与BC交于点E．

http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image034.gif

(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并加以证明；

(2)若AC=16, _{http://edu6.teacher.com.cn/tkc1079a/kcjj/ch1/ztjz/images/image035.gif}, 求⊙O的半径．

分析：在联结OD之后发现如果OD∥AC，那么OD⊥CD。 而OD∥AC通过角的关系容易得到。

再比如2010年海淀一模的第20题，虽然图形不同但是证明的整体思路是一致的。

最后我安排了两道反馈检测题，分别是08和09年北京市的中考题。为什么选择这两道题呢？一方面是考察学生的掌握情况，另一方面是让学生感受中考题不可怕，是有方法可循的。08年的题是第一种方法（互余）的应用，09年的题是第二种方法（平行）的应用。

由此可见，教材上的例习题很重要，我们不应“丢了西瓜去捡芝麻”，忽视教材上的习题去搞大量的课外习题。 即使我们老师在题海中畅游，也是要有方向的，这个方向便是《课程标准》和教材，这样才能取得良好的预期效果。

总结：教师在教学中有目的、有计划地精心编制习题，可避免低水平的重复，使学生拓宽学习领域，也可使每个学生都在原有的基础上得到发展，让学生获得成功的体验以及学好数学的信心，能收到良好的教学效果，从而提高课堂教学效率。

（四）教学方法

习题课的教学方法没有固定的要求，要根据学情和教学目标、内容而定。 但是单一的传授式或者就题教题都会使使 学生产生对数学的厌烦情绪，更不用说提高学生的思维能力了。因此，在习题课中，要让学生自练、自悟、自得，教师只是不失时机的点评才是上策。要让学生自悟出数学规律、数学思想方法，自得出解题技能。要实现上述目标，要灵活选择师生互动性强、学生参与度高的教学方法。