加载中…三角形中位线定理的几种证明方法
(2012-04-24 10:20:41)
标签：
杂谈 |
分类： 空间与图形 |
【摘要】：三角形中位线定理是初中数学中的一个重要定理.对这个定理的证明,教材要求学生了解并掌握.笔者对三角形中位线定理证明的重视,起因于学期初发生的一件事.在教研室组织的备课会议上,市内的一位知名教师谈到了他在职评说课时遇到的困难.他当时所要解决的就是三角形中位线定理的
第一，证明定理是帮助学生掌握知识体系的重要环节；
第二，这个定理的证明综合运用了前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等重要知识，又提示了某些辅助线的添置方法；
第三，证题时，强化了思维过程的教学，培养了求异思维，有益于开发学生的智力。同时，启发学生用不同的方法来证明三角形中位线定理，还可以培养学生发散性思维。
http://imgsrc.baidu.com/baike/abpic/item/ae10eddef462b14395ee3721.jpg
定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 。
证明
已知;如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证；DE平行且等于BC/2
方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD
∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
∴DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
方法二：利用相似证
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=AB/2
AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF∥BC且DE=BC/2
方法三：坐标法：
设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)
则一条边长为
:根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
三角形中位线定理的逆定理
逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2
【证法①】
取AC中点G
，联结DG
则DG是三角形ABC的中位线
∴DG∥BC
又∵DE∥BC
∴DG和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
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