加载中…梯形蝴蝶定理
(2012-04-17 14:56:03)
标签：
杂谈 |
分类： 空间与图形 |
一、蝴蝶定理的起源
二、梯形蝴蝶定理的证明
①根据等底等高的两个三角形的面积相等,可知S△ADC=S△BCD,即S△AOD+S△DOC=S△BOC+S△DOC,所以S△AOD=S△BOC.
②分别过点A、C作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F(如图3),则S△AOD=12DO·AE,S△BOC=12BO·CF,S△AOB=12BO·AE,S△DOC=12DO·CF故S△AOD·S△BOC=S△AOB·S△DOC.利用梯形蝴蝶定理中的这两个结论,解决某些面积计算或等积(面积相等)变形问题,可起到事半功倍的效果.
三、梯形蝴.
梯形蝴蝶定理 如图，在梯形中，存在以下关系：
(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a^2/b^2
（2）S1︰S2︰S3︰S4=
a^2︰b^2︰ab︰ab ； （3）S3=S4 ； （4）S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
(5)
AO：BO=(S1+S3)：(S2+S4)
证明
证明：过圆心O作AD与B牟垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM喜欢
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