1、等边三角形
ABC 内有任意一点 P，求证 PA 、 PB 、 PC 的长度一定能构成一个三角形。
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http://www.kuqin.com/upimg/allimg/110813/09403H2C-1.png
分析;这是初中平面几何的一个经典问题：这里给出两种证明方法。
(1)传统的证明方法:
把 △CPA 绕着点 C 逆时针旋转 60 度，
从而旋转后的 CA 将会和 CB 重合，同时 P 点落在了 P' 的位置。
由于 △CP'B 是由 △CPA 旋转过去得到的，因此 P'B = PA 。
因为线段
CP' 是 CP 绕着点 C 旋转 60 度得到的，
所以
CP 和 CP' 长度相等且夹角为 60 度，
即 △CPP' 是等边三角形，于是 PP' = CP
。
那么， △BPP' 的三边长事实上分别等于 PA 、 PB 、 PC
，命题得证。
http://www.kuqin.com/upimg/allimg/110813/09403MP2-2.png
方法2:今天我学到了另外一种证明方法，看上去更简洁巧妙一些。
过点 P 分别作三边的平行线，整个三角形被分为三个蓝色四边形。
图中的三个蓝色四边形都有一组对边平行，因而他们都是梯形；
事实上，容易看出
这些梯形的两个底角都是 60 度，（两只线平行，同位角相等）
因而他们都是等腰梯形。
因为等腰梯形的两条对角线长度是相等的
因此红色三角形 A'B'C' 的三边长度事实上就分别等于 PA 、 PB 、 PC
，命题得证。
2、如图,在等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合,但不与点B重合),过点P作PE垂直于BC,垂足为E;过点E作EF垂直于AC,垂足为F;过点F作FQ垂直于AB,垂足为Q.设BP=X,AQ=Y.
1)写出Y与X之间的关系.
2)当BP的长等于多少时,点P与点Q重合?
http://pic.wenwen.soso.com/p/20091103/20091103220837-369653057.jpg
分析：等边三角形ABC中，有∠A=∠B=∠C=60，AB=BC=CA=2
1.点P作PE垂直于BC，∠A=60度
所以在△PBE中有BE=x/2，EC=2-x/2
2、过点E作EF垂直于AC,垂足为F，∠C=60
所以在△CEF中有FC=1/2EC=1/2（2-X/2 ）=1-X/4
AF=AC-FC=2-1+1/4X=1+1/4X
3、过点F作FQ垂直于AB,垂足为Q，∠B=60所以在△FAQ中有AQ=1/2AF=1/2（1+1/4X）=1/2+X/8=Y
即Y=1/2+X/8
4、要使点P与点Q重合，则Y+X=2，即1/2+X/8+X=2，解得X=4/3
3、ABC内一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求角∠APB.
[解]以PA为一边，向外作正三角形APQ，连接BQ，
可知PQ=PA=3，∠APQ=60°，
由于AB=AC，PA=QA，
∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ，
即：∠CAP=∠BAQ，
所以△CAP≌△BAQ
可得：CP=BQ=5，
在△BPQ中，PQ=3，PB=4，BQ=5，由勾股定理，
知△BPQ是直角三角形。
所以∠BPQ=90°
所以∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。
4、P为等边三角形△ABC内任意一点,求证:PA+PB+PC<2AB
证明： PA
+PB <AB
PA+PC<AC
PB+PC<BC
所以PA +PB+ PA+PC+PB+PC<AB+AC+BC
又因为AB=AC=BC
2(PA+PB+PC)<3AB<4AB
所以PA+ PB +PC<2AB
5、如图，已知等边三角形ABC内的任意一点P，过P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为D、E、F。
求证：不论点P在何处，PD+PE+PF的值不变。
http://www.yakue.com/QAImage/20091109/5c0240ea.gif
分析：连接AP、BP、CP，则整个三角形被分为三个小三角形，
利用面积不变定理
1/2
*AB( PD+PE+PF)=S等边三角形ABC
( PD+PE+PF)=2S等边三角形ABC/AB
6、等边三角形ABC，内有一点P，AP=6，BP=8，CP=10，
求三角形APC的面积
解：如图设：△ABP面积=S1，△APC面积=S2，△BPC面积=S3
（1）把△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACD处，连接PD
（2）把△BCP绕点B逆时针旋转60°到△BAF处，连接PF
（3）把△CAP绕点C逆时针旋转60°到△CBE处，连接PE
注意：这里用到等边三角形面积公式=(√3/4)a²【a是等边三角形边长】这个你知道吧
看（1）旋转后的图
http://hiphotos.baidu.com/zhidao/abpic/item/e7cd7b89e45c7be10f24443b.jpg?t=1334631283671
△APD是边长为6的等边三角形【理由：∠PAD=60°，AP=AD】
△PDC为直角三角形【理由：三边长6、8、10，勾股定理逆定理】
则：S1+S2=直角三角形PDC的面积+等边三角形APD的面积=24+9√3
同理：
S1+S2=24+9√3①
S1+S3=24+16√3②
S2+S3=24+25√3③
[①+②+③]÷2得：S1+S2+S3=△ABC的面积=36+25√3④
④-②得：S2=（36+25√3）-（24+16√3）
=12+9√3
所以：所求的三角形APC的面积是12+9√3
【其实△APB的面积、△BPC、△ABC的面积都可以求出来
三角形APB=S1=④-③=12
三角形BPC=S3=④-①=12+16√3 】
7、在等边三角形ABC所在平面内，存在着一点P，使三角形PAB、三角形PBC三角形PAC都是等腰三角形。
这样的点有几个？
分析：找到10个，都在每条边的垂直平分线上班 :3×3+1=10
分别以三角形各顶点为圆心,边长为半径,交垂直平分线的交点就是满足要求的.每条垂直平分线上得3个交点,再加三角形的垂心,一共10个.
在等边三角形一边的中垂线上找点，共四个。等边三角形有三条对称轴（有重复），共有4*3-2=10
如下：
P1是ABC的内心，
P2位于AC的中垂线上，且P2B=AB,
P3,P4类似于P2,分别位于AB、BC的中垂线上
P5AB是等边三角形，
P6,P7位置类似于P5,P8位于AB的中垂线上，且P8C=AB,P9,P10位置类似于P8,
一共有10个
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(2012-04-17 10:00:22) 
