在几何证明题中关于辅助线的作法是多种多样的,其中"把三角形的中线延长加倍"只是其中一种.

1.◆延长加倍"三角形的中线".

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     例题1:已知⊿ABC中,AB=5,AC=3,试求BC上的中线AD的取值范围.(如图1)
    解:延长AD到E,使DE=DA.连接BE.
   ∵DE=DA(所作;BD=CD(已知);∠BDE=∠CDA(对顶角相等)
   ∴⊿BDE≌⊿CDA(SAS),BE=CA=3.
     在⊿ABE中,AB-BE<AE<AB+BE.(三角形三边关系定理)
     即:5-3<2AD<5+3,得:1<AD<4.

    例题2:已知⊿ABC,分别以AB,AC为边长向外作正方形ABDE和正方形ACFG,M为BC的中点,MA的延长线交EG于N.求证: MN垂直EG.(见图2)
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     证明:延长AM到H,使MH=MA,连接BH.
    又BM=CM,∠BMH=∠CMA,则⊿BMH≌⊿CMA(SAS),BH=AC=AG;∠BHM=∠CAM.
     ∴BH∥AC,∠ABH+∠BAC=180°;
     又∠EAG+∠BAC=360°-∠BAE-∠CAG=180°.
     ∴∠ABH=∠EAG;又BH=AG(已证);AB=AE(已知).
     ∴⊿ABH≌⊿EAG(SAS),∠BAH=∠AEG.
    故∠EAN+∠AEG=∠EAN+∠BAH=90度,得MN垂直EG.

2.◆线段的和,差,倍,分问题,通常利用"截长补短法".

   例题3:正方形ABCD中,BC上有点E,CD上有点F,且∠EAF=45°

      .求证:BE+DF=EF.(见图3)
    分析:我们在平时的证明中,通常只是证明两条线段相等,而本题却是求证两条线段的和等于较长的线段.因此可想法把两条短线段接起来,再证它俩的和与长线段相等即可.
     证明:延长CD到G,使DG=BE,连接AG,则BE+DF=DG+DF=GF.
   ∵DG=BE,AD=AB,∠ADG=∠ABE=90°.
   ∴⊿ADG≌⊿ABE(SAS),AG=AE;∠DAG=∠BAE,则∠EAG=∠BAD=90度.
   又∠EAF=45度.故∠EAF=∠GAF=45度.
    ∵AG=AE,∠EAF=∠GAF,AF=AF.
    ∴⊿GAF≌⊿EAF(SAS),GF=EF,即DG+DF=BE+DF=EF.

3.◆构造关于角平分线对称的全等三角形.
     例4.已知:⊿ABC内部有点D,且AD平分∠BAC,AD⊥CD,E为BC的中点,连接DE.
    求证:AB-AC=2DE.(见图4)
    分析:本题的结论很麻烦,如何把AB-AC变成一条线段呢?显然只要在AB上截一段等于AC,则剩下的线段就是(AB-AC)了.本题还有另一个条件"AD平分∠BAC",因此也可采用另一种方法.
    证明:在AB上截取AF=AC,连接DF.
又AD=AD,∠FAD=∠CAD,则:⊿FAD≌⊿CAD(SAS),FD=CD;∠ADF=∠ADC=90°.
    可知C,D,F在同一直线上.又E为BC的中点.
    ∴BF=2DE(三角形中位线的性质),即AB-AF=AB-AC=2DE.
    注:本题中由于有AD平分∠BAC,也可直接延长CD交AB于F.证法类似,不再赘述.

   【几何证明题中辅助线的作法有很多,在此仅举这几例吧,希望你能在以后的学习中多动脑,勤思考,多总结,常反思,随着你经验的积累,解题能力会稳步提高的.祝你进步!】