加载中…正定矩阵的意义
(2014-06-30 09:37:14)
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分类： 数学知识 |
正定矩阵在对三维空间里的图形进行线性变换时不改变图形的形状，这就是它的最大意义例如：任意一个向量x，跟他垂直的超平面把空间分成两部分，一部分和x在同一侧，即满足和x的内积为正的那侧，一部分在异侧，内积为负。
由定义，正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧。
如果它有实特征值，必定是正数，否则的话它会把这特征向量变到另侧。
一个线性变换把一组幺正基e1,...,en变到另一组向量v1,...,vn，这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体。这多面体的体积就是线性变换的行列式。对正定变换来说，其行列式为正，所以这个多面体非退化，且v1,...,vn确定的定向和e1,...,en确定的定向相同。
补充:不会保持形状不变.保持不变的必须是等距,就是说,必须是正交变换O(n).
正定变换一般最常见的情况是正定对称变换.正定对称变换最常见的情况是用来定义内积.即定义 = x'Ay为x,y的内积.欧氏空间的内积用I来定义,即=x'y.
由定义，正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧。
如果它有实特征值，必定是正数，否则的话它会把这特征向量变到另侧。
一个线性变换把一组幺正基e1,...,en变到另一组向量v1,...,vn，这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体。这多面体的体积就是线性变换的行列式。对正定变换来说，其行列式为正，所以这个多面体非退化，且v1,...,vn确定的定向和e1,...,en确定的定向相同。
补充:不会保持形状不变.保持不变的必须是等距,就是说,必须是正交变换O(n).
正定变换一般最常见的情况是正定对称变换.正定对称变换最常见的情况是用来定义内积.即定义 = x'Ay为x,y的内积.欧氏空间的内积用I来定义,即=x'y.
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