走进“数的认识”——数量和数量关系

走进“数的认识”

——数量和数量关系

灵宝市实验小学   肖云云

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数量是什么？

数量是对现实生活中事物量的抽象。从远古时代开始，在日常生活和生活实践中，人们就需要创造出一些语言来表示事物（事件与物体）量的多少，比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少等。虽然在这样的表达中出现了数字，但这些数字都是有具体背景的：在这样的表达中，数字后面都有后缀名词。我们把这种有实际背景的、关于量的多少的表达称为数量。

在上面的表述中，数字还不具有数字符号的功能。因此，虽然数量是对现实世界中与量有关的事物的一种抽象，但数量还不能作为数学研究的对象，数学研究的对象应当是比数量更为一般的抽象。为了实现更为一般的抽象，就必须把握数量的本质，这个本质表现在数量的关系之中。

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数量关系的本质是什么？

数量关系的本质是多与少。因为动物也能够分辨出多与少，比如，一只狗对一只狼的反应与对一群狼的反应是不一样的，这就说明狗知道狼数量的多与少。在《科学的语言》中描述了一个故事，这个故事表明动物对于数量的多与少具有相当强的分辨能力：

在欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，主人打算杀死这只乌鸦，可是几次都没有成功，因为他一走进这个望楼，乌鸦就飞走，栖在远远的树上，直到他离开望楼才飞回来。后来他想了一个聪明的方法：两个人一起走进望楼，一个人出来，一个人留在里面。可是乌鸦不上当，直到第二人离开望楼才飞回来。主人不死心，连续实验了几天：三个人，四个人都没有成功。最后用了五个人，四个人走出来，一个人留在里面，这次乌鸦分辨不清了，飞了回来。

由乌鸦的故事似乎可以推断，人类对于数量多少的感知可能比语言的形成还要早。但是，我们也应当知道，与创造文字一样，人类能够从数量，或者说从数量的多与少中抽象出数的概念，最终形成数字系统还是一件非常不容易的事情，这个形成过程经历了相当漫长的岁月。至今为止，一些偏远部落依然没有形成系统的数字概念，那里的人们只能区分一、二和许多。

数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大与小。可是，当人们还不会计数时，如何准确地分辨数量的多与少呢？

对于同样的东西，问题还是比较简单的，因为数量是一个一个多起来的。比如，四个苹果是在三个苹果的基础上又多了一个苹果，所以四个苹果比三个苹果多；同样的道理，五个苹果要比四个苹果多；因为“多”的关系是具有传递性，因此五个苹果要比三个苹果多。“少”与“多”是对应的，因此用同样的方法理解“少”。

对于不同的东西，问题将变得比较复杂，因为很难理解四粒米要比三头牛多，这时，可以采用对应的方法来比较多少。

在公元前9世纪至公元前8世纪成书的、古希腊著名的荷马史诗中，就有这样的记载：

当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕裴摩斯并离开克洛普斯国以后，那个不幸的盲老人每天都坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早上捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全都返回了。

故事中讲述的方法，就是把羊的个数与石子个数相对应。因为独眼巨人关心的只是母羊是否返回山洞，而不是关心一共有多少只母羊。

在《天空中的圆周率》这本书中还记载这样一件事情，1929年，考古学家在公元前15世纪的努鲁孜城废墟（现在伊朗境内）发现了一个很小的圆形土质容器，外侧的楔形文字记载：

与绵阳和山羊有关的物体

4只小公羊

21只生过小羊的母羊

6只生过小羊的母山羊

6只小母羊  1只公山羊

8只成年羊  2只小羊

这些数字加起来是48。当人们打开这个容器后发现，里面正好有48个泥球。

通过上面的几个例子可以知道，人类在远古时代就能借助集合与集合之间元素的对应关系分辨多少：如果两个集合的元素能够一一对应，那么这两个集合的元素一样多；如果一个集合有剩余，那么这个集合元素的个数就多于另一个集合元素的个数；反之，就少于另一个集合元素的个数。正是利用这样的对应关系，古代的人们就抽象出了数，并且用符号来表达数。

因此，在小学阶段，特别是在小学低年级的数学教学中，应当重视数与数量的对应关系，应当重视数的大小与数量多少的对应关系，并且应当创造出各种生动的案例让学生感悟这样的关系。

小伙伴们，没想到这本书中还有这么吸引人的有趣的故事吧？ 史宁中教授用了30个问题，引发对教学核心问题的思考，还用了30个话题，拓展对教学核心问题的理解，而在这30个话题中有好多这样吸引人的故事，把数学上干巴巴的知识用故事来阐释。你是不是也喜欢上这本书，想立即看看还有哪些有趣的故事去拓展我们对问题的理解呢？

那么，请期待下次见咾！