加载中…无网格法和有限元的区别
(2011-04-16 19:11:05)
标签：
杂谈 |
分类： 编程语言学习 |
作为一种数值计算方法,无网格法和有限元一样,都是通过变分原理推导控制方程,但也存在很多不同之处。
1 形函数不同
无网格法将研究对象离散为节点,节点之间无需网格联系,节点的函数值是该节点影响域内节点的函数值通过最小二乘拟合或积分变换得到,即形函数不是插值函数。而有限元法将研究对象离散为单元,以单元为研究对象,单元内任意点的函数值通过节点值插值得到,形函数为插值函数。图1所示为有限元和无网格法离散方式的区别及函数表达式。
http://hiphotos.baidu.com/xiaomingbing/pic/item/8974aff540275463bd31091a.jpg
http://hiphotos.baidu.com/xiaomingbing/pic/item/53a31b251ee8912635a80f1a.jpg
2 整体刚度矩阵的组成
在系统刚度矩阵的组成上,有限元法是对单元内的高斯点积分,其刚度矩阵是通过单元内的高斯点组合起来的,而无网格法是对I节点影响域和J节点影响域交集中的高斯点积分,刚度矩阵是交集中的高斯点的组合(如图2所示)。
http://hiphotos.baidu.com/xiaomingbing/pic/item/0f6cde60907193998cb10d1a.jpg
3 本质边界条件的处理
如前所述,无网格法的形函数不是插值函数,即函数在某点的近似值不等于函数在该点的值,所以本质边界条件不能满足,这也是无网格法最大的困难,解决的方法有:罚函数法、拉氏乘子法、修正的变分原理法、与有限元耦合法等。其中罚函数法虽然其精度受罚函数的影响较大,但由于比较简单而得到广泛应用。
4 积分方案不同
有限元一般采用高斯积分,即在单元内部建立高斯积分点。而无网格法采用的积分方案有: 1)节点积分,即利用梯形积分法则,这种方法比较简单,是真正的无网格法,但计算稳定性较差; 2)利用背景网格或有限元背景网格建立高斯积分过程,这里的网格仅用于积分计算,并不影响无网格法的实质。
1 形函数不同
无网格法将研究对象离散为节点,节点之间无需网格联系,节点的函数值是该节点影响域内节点的函数值通过最小二乘拟合或积分变换得到,即形函数不是插值函数。而有限元法将研究对象离散为单元,以单元为研究对象,单元内任意点的函数值通过节点值插值得到,形函数为插值函数。图1所示为有限元和无网格法离散方式的区别及函数表达式。
http://hiphotos.baidu.com/xiaomingbing/pic/item/8974aff540275463bd31091a.jpg
http://hiphotos.baidu.com/xiaomingbing/pic/item/53a31b251ee8912635a80f1a.jpg
2 整体刚度矩阵的组成
在系统刚度矩阵的组成上,有限元法是对单元内的高斯点积分,其刚度矩阵是通过单元内的高斯点组合起来的,而无网格法是对I节点影响域和J节点影响域交集中的高斯点积分,刚度矩阵是交集中的高斯点的组合(如图2所示)。
http://hiphotos.baidu.com/xiaomingbing/pic/item/0f6cde60907193998cb10d1a.jpg
3 本质边界条件的处理
如前所述,无网格法的形函数不是插值函数,即函数在某点的近似值不等于函数在该点的值,所以本质边界条件不能满足,这也是无网格法最大的困难,解决的方法有:罚函数法、拉氏乘子法、修正的变分原理法、与有限元耦合法等。其中罚函数法虽然其精度受罚函数的影响较大,但由于比较简单而得到广泛应用。
4 积分方案不同
有限元一般采用高斯积分,即在单元内部建立高斯积分点。而无网格法采用的积分方案有: 1)节点积分,即利用梯形积分法则,这种方法比较简单,是真正的无网格法,但计算稳定性较差; 2)利用背景网格或有限元背景网格建立高斯积分过程,这里的网格仅用于积分计算,并不影响无网格法的实质。
MLS移动最小二乘法
最小二乘法
根据两个变量的实验数据找出它们之间的近似函数表达式f(x)，即经验公式
例如：y=ax+b，已知一组x的数据和相对应的一组y的数据
公式1，根据令偏差的平方和M的最小来求解a、b的值即为最小二乘法。
求解过程：令公式2、公式3，即可求出a、b的值，
然后求出均方误差公式4，其大小一定程度上反映用经验公式来近似表示原来的函数关系的近似程度的好坏。
例如：y=ax+b，已知一组x的数据和相对应的一组y的数据
公式1，根据令偏差的平方和M的最小来求解a、b的值即为最小二乘法。
求解过程：令公式2、公式3，即可求出a、b的值，
然后求出均方误差公式4，其大小一定程度上反映用经验公式来近似表示原来的函数关系的近似程度的好坏。
若f(x)为线性函数，则相应问题为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。
线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解方程组得到。
非线性最小二乘问题求解比较困难，一般要借用线性化方法（例如将化学反应的速度用指数函数来表示）或最优方法（搜索算法和迭代算法）才行。
线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解方程组得到。
非线性最小二乘问题求解比较困难，一般要借用线性化方法（例如将化学反应的速度用指数函数来表示）或最优方法（搜索算法和迭代算法）才行。
移动最小二乘法
在离散的点云中，求曲线曲面拟合，不能简单地连接这些点，如果知道曲线曲面的形式，如为二次曲线等，可以简单地使用最小二乘法估计参数；但如果曲线曲面形式未知，可以使用移动最小二乘法或者主曲线方法。
Lancaster 和Salkauskas
最先在曲面生成中使用了MLS，后来Belytschko 将其应用于无网格方法（有限元）中。
移动最小二乘法与传统的最小二乘法相比，有两个比较大的改进【1】：
（1）拟合函数的建立不同。这种方法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其它函数，而是由一个系数向量a(x)和基函数p(x)构成，这里a(x)不是常数，而是坐标x 的函数。
（2）引入紧支（Compact Support）概念，认为点x 处的值y 只受x 附近子域内节点影响，这个子域称作点x 的影响区域，影响区域外的节点对x的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数w(x)，如果权函数在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。
（1）拟合函数的建立不同。这种方法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其它函数，而是由一个系数向量a(x)和基函数p(x)构成，这里a(x)不是常数，而是坐标x 的函数。
（2）引入紧支（Compact Support）概念，认为点x 处的值y 只受x 附近子域内节点影响，这个子域称作点x 的影响区域，影响区域外的节点对x的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数w(x)，如果权函数在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。
这些改进能够带来许多优点，减缓或解决传统曲线曲面拟合过程中存在的困难。可以取不同阶的基函数以获得不同的精度，取不同的权函数以改变拟合曲线(曲面)的光滑度，这是其它拟合方法无法做到的。
参考文献
【1】曾清红,卢德唐,基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合, 工程图学学报 2004
No.1
近几十年来有限元法取得了巨大的发展，成为工程数值分析的有力工具，解决了一大批有重大意义的科学和工程问题。然而，有限元法在分析高速撞击、金属加工成形、动态裂纹扩展、流固耦合和应变局部化等涉及特大变形的问题时也遇到了因网格畸变而产生的许多困难。
与有限元法相比，无网格法的近似函数不依赖于网格，因此在分析涉及特大变形的问题中具有很大的优。近十年来无网格法的研究受到了高度重视，成为国际计算力学界的研究热点之一。在国家自然科学基金的资助下，国内许多单位也都对无网格法展开了研究。
1. Belytschko,T.,Y.Y.Lu.and L.Gu(1994).Element Free Galerkin Methods.International Journal for Numerical Methods in Engineering 37.229-256
无单元法的基本理论，西北大学教授所作的研究，也是他首先提出的EFG
2.ohn Dolbow Ted Belytschko. An introduction to Programming the Meshless Element-Free Galerkin Method. July 3, 1998.
这个论文中有相关的MATLAB程序来验证EFG法！
3.Belytschko,T.,Y.Krongauz,D.Organ,M.Fleming and P.Krysl(1996).Meshless Methods:An Overview and Recent Developments.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 139,3-47
这是无单元法的回顾与展望
自从1981年 P.Lancaster和K.Salkauskas的论文:
Surfaces Generated by Moving Least Squares Methods发表以后,很多的力学学者们就开始用它来做为移动最小二乘来做无网格法分析.
无网格法的近似方法有指的是对场函数)
光滑粒子流动力学法:Smooth particle hydrodynamic method. SPH
再生核质点法: reproducing kernel particle method. RKPM
移动最小二乘法: moving least-square method, MLS
单位分解法: partition of unity method
离散化方法及数值积分法对方程而言)
配点法, 伽辽金法, 无网格局部Petrov-Galerkin法等.
以上的方法组合成无网格法, 当然有些要背景网格(不是真正的无网格),有的不需要背景网格(真正的无网格法)
Atluri等在无网格法方面的研究比较多.2002年他出了一本书:
the meshless local Petrov-Galerkin method. 价值250美元, 清华好象有一本,但北京大学还没有.
近年来,很多的所谓中国学者都在做无网格法,其实大家都是在为了发表论文而已.我相信不象Atluri说的,可以在某天代表有限元. 据说他说话一向这样.
无网格法可能在解决如单个的实体:梁板等东西有点用.但用在结构上,好象还没有一个人发过一篇论文呢.我个人认为是很难用在结构上来.
西北大学Ted Belytschko教授的主页 http://www.tam.northwestern.edu/tb/tb.html
上面有很多论文 以及使用EFG追踪结构开裂的相关动态图像。还有EFG与EFM偶合的相关资料！
新加坡国力大学的G.R.Liu写的meshless书籍，他的主页上还有一些meshless软件可供下载：
http://www.nus.edu.sg/ACES/software/meshless2D/webfiles/webpageMFree.htm
《无网格法》(张雄，刘岩著，清华大学出版社/Springer出版社)，目前已提出了十余种无网格法，其主要区别在于离散微分方程的方法（如伽辽金法、配点法、最小二乘法、彼得洛夫-伽辽金法等）和建立近似函数的方法（移动最小二乘近似、核近似、重构核质点近似、单位分解法、hp云团法、径向基函数法、点插值法等）。
书中程序下载：http://www.dynamics.tsinghua.edu.cn/xzhang/OMLL/
各种有限元法之间的区别
与有限元法相比，无网格法的近似函数不依赖于网格，因此在分析涉及特大变形的问题中具有很大的优。近十年来无网格法的研究受到了高度重视，成为国际计算力学界的研究热点之一。在国家自然科学基金的资助下，国内许多单位也都对无网格法展开了研究。
1. Belytschko,T.,Y.Y.Lu.and L.Gu(1994).Element Free Galerkin Methods.International Journal for Numerical Methods in Engineering 37.229-256
无单元法的基本理论，西北大学教授所作的研究，也是他首先提出的EFG
2.ohn Dolbow Ted Belytschko. An introduction to Programming the Meshless Element-Free Galerkin Method. July 3, 1998.
这个论文中有相关的MATLAB程序来验证EFG法！
3.Belytschko,T.,Y.Krongauz,D.Organ,M.Fleming and P.Krysl(1996).Meshless Methods:An Overview and Recent Developments.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 139,3-47
这是无单元法的回顾与展望
自从1981年 P.Lancaster和K.Salkauskas的论文:
Surfaces Generated by Moving Least Squares Methods发表以后,很多的力学学者们就开始用它来做为移动最小二乘来做无网格法分析.
无网格法的近似方法有指的是对场函数)
光滑粒子流动力学法:Smooth particle hydrodynamic method. SPH
再生核质点法: reproducing kernel particle method. RKPM
移动最小二乘法: moving least-square method, MLS
单位分解法: partition of unity method
离散化方法及数值积分法对方程而言)
配点法, 伽辽金法, 无网格局部Petrov-Galerkin法等.
以上的方法组合成无网格法, 当然有些要背景网格(不是真正的无网格),有的不需要背景网格(真正的无网格法)
Atluri等在无网格法方面的研究比较多.2002年他出了一本书:
the meshless local Petrov-Galerkin method. 价值250美元, 清华好象有一本,但北京大学还没有.
近年来,很多的所谓中国学者都在做无网格法,其实大家都是在为了发表论文而已.我相信不象Atluri说的,可以在某天代表有限元. 据说他说话一向这样.
无网格法可能在解决如单个的实体:梁板等东西有点用.但用在结构上,好象还没有一个人发过一篇论文呢.我个人认为是很难用在结构上来.
西北大学Ted Belytschko教授的主页 http://www.tam.northwestern.edu/tb/tb.html
上面有很多论文 以及使用EFG追踪结构开裂的相关动态图像。还有EFG与EFM偶合的相关资料！
新加坡国力大学的G.R.Liu写的meshless书籍，他的主页上还有一些meshless软件可供下载：
http://www.nus.edu.sg/ACES/software/meshless2D/webfiles/webpageMFree.htm
《无网格法》(张雄，刘岩著，清华大学出版社/Springer出版社)，目前已提出了十余种无网格法，其主要区别在于离散微分方程的方法（如伽辽金法、配点法、最小二乘法、彼得洛夫-伽辽金法等）和建立近似函数的方法（移动最小二乘近似、核近似、重构核质点近似、单位分解法、hp云团法、径向基函数法、点插值法等）。
书中程序下载：http://www.dynamics.tsinghua.edu.cn/xzhang/OMLL/
各种有限元法之间的区别
常规有限元
有理有限元
样条有限元
Trefftz有限元
有限条法
无限单元法
奇异元
看下来觉得各种有限元方法都是基于从微分方程--〉积分方程--〉这样一个过程
它们的区别都在以下三个角度：
1。积分形式不同
(1)加权残数形式：就是直接用一个权函数乘以原本的微分表达
引出了：最小二乘法，配点法，矩量法，Galerkin法等等
(2)把加权残数形式积分方程分部积分一次，得到“弱形式”，此时，该积分方程中，对解是一阶导数，对权函数也是一阶导数。这个就是泛函意义上的弱解所应该满足的方程，（说一句题外话，泛函分析上用Lax-Milgram定理证明弱解唯一存在，却无法证明常规BEM方法的弱解是唯一的，这就是常规BEM法无法与有限元法结合的原因，因为有限元是必然弱解唯一的。）
弱形式引出了：FEM,能量有限差分法，数值流形法，无网格法
(3)把“弱形式”再分部积分一次，得到“逆形式”,此时，该积分方程中，对解是0阶导数，对权函数是二阶导数。
逆形式引出了：BEM,TrefftzBEM等等方法
2。以上的能量形式是最本质的区别，而后linlin820所问到的各种方法的区别，其实就是试函数中形函数的区别
（1）试函数的定义域
试函数：是用某一中形式的函数来替代该微分方程的解。常规有限元就用：u=N_i u_i,这里的u就是试函数。根据不同的方法，试函数的定义域不同。
比如：
Litz法的试函数定义在整个求解区域--〉有限元法的试函数定义在独立单元
康特罗维奇法的试函数定义在整个求解区域--〉有限条法在一个方向定义在整个区域，另一方向定义在独立单元。
（2）试函数中的形函数
试函数中，形函数取得不同，引发不同方法：取成多项式，则称为多项式有限元；取为有理函数，则成为有理有限元；取为完备解，则成为Trefftz有限元，以此类推，Linlin820的问题我想我已经解答清楚了。
而所谓的无网格法，究其根本，变化也不过在形函数上。
（3）试函数中的基变量
值得注意的是，不仅形函数可以有如此的变化，u_i也可以变化，当把u_i取为一个函数，而不仅仅用一个常数来代替的时候，就成为了数值流形方法。
3。除了试函数的不同，在能量积分中还有一项权函数，这也是区别各种计算方法的根本因素。
(1)当权函数取为试函数，则成为Galerkin方法，从而刚度矩阵的对称性成为可能。而我们遇到的众多有限元方法，大部分都是基于此，所以刚度矩阵对称。
(2)当权函数取为Green函数，则成为常规边界元法
(3)当权函数取为完备解，则称为Trefftz方法
(4)其余，就有可能是Petrov-Galerkin方法（即广义Galerkin方法）
有理有限元
样条有限元
Trefftz有限元
有限条法
无限单元法
奇异元
看下来觉得各种有限元方法都是基于从微分方程--〉积分方程--〉这样一个过程
它们的区别都在以下三个角度：
1。积分形式不同
(1)加权残数形式：就是直接用一个权函数乘以原本的微分表达
引出了：最小二乘法，配点法，矩量法，Galerkin法等等
(2)把加权残数形式积分方程分部积分一次，得到“弱形式”，此时，该积分方程中，对解是一阶导数，对权函数也是一阶导数。这个就是泛函意义上的弱解所应该满足的方程，（说一句题外话，泛函分析上用Lax-Milgram定理证明弱解唯一存在，却无法证明常规BEM方法的弱解是唯一的，这就是常规BEM法无法与有限元法结合的原因，因为有限元是必然弱解唯一的。）
弱形式引出了：FEM,能量有限差分法，数值流形法，无网格法
(3)把“弱形式”再分部积分一次，得到“逆形式”,此时，该积分方程中，对解是0阶导数，对权函数是二阶导数。
逆形式引出了：BEM,TrefftzBEM等等方法
2。以上的能量形式是最本质的区别，而后linlin820所问到的各种方法的区别，其实就是试函数中形函数的区别
（1）试函数的定义域
试函数：是用某一中形式的函数来替代该微分方程的解。常规有限元就用：u=N_i u_i,这里的u就是试函数。根据不同的方法，试函数的定义域不同。
比如：
Litz法的试函数定义在整个求解区域--〉有限元法的试函数定义在独立单元
康特罗维奇法的试函数定义在整个求解区域--〉有限条法在一个方向定义在整个区域，另一方向定义在独立单元。
（2）试函数中的形函数
试函数中，形函数取得不同，引发不同方法：取成多项式，则称为多项式有限元；取为有理函数，则成为有理有限元；取为完备解，则成为Trefftz有限元，以此类推，Linlin820的问题我想我已经解答清楚了。
而所谓的无网格法，究其根本，变化也不过在形函数上。
（3）试函数中的基变量
值得注意的是，不仅形函数可以有如此的变化，u_i也可以变化，当把u_i取为一个函数，而不仅仅用一个常数来代替的时候，就成为了数值流形方法。
3。除了试函数的不同，在能量积分中还有一项权函数，这也是区别各种计算方法的根本因素。
(1)当权函数取为试函数，则成为Galerkin方法，从而刚度矩阵的对称性成为可能。而我们遇到的众多有限元方法，大部分都是基于此，所以刚度矩阵对称。
(2)当权函数取为Green函数，则成为常规边界元法
(3)当权函数取为完备解，则称为Trefftz方法
(4)其余，就有可能是Petrov-Galerkin方法（即广义Galerkin方法）
“移动最小二乘法”为何是“移动”？--张雄老师
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