直接积分法_wondering

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直接积分法

(2010-06-14 08:47:43)

标签：

杂谈

对于式（7-1），直接积分法在空间上采用有限元方法离散，对时间变量则采用差分方法离散。初始时刻（t=0）的位移、速度和加速度向量分别为http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image004.gif法和Newmark法等。下面分别介绍这些方法。

一、中心差分法

    在式（7-1）中将加速度http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image008.gif用中心差分法代替：
                                       http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image010.gif                             （7-11）
                                       http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image012.gif                                 （7-12）
上面两式的误差的阶是http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image014.gif。考虑t时刻的动力学方程：
                                      http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image016.gif                                   （7-13）
将式（7-11）和式（7-12）分别代入式（7-13）中，可得：
                                          http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image018.gif                                         （7-14）
式中http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image020.gif分别称为有效质量矩阵和有效载荷向量，分别为：
                                          http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image022.gif                                  （7-15）
                              http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image024.gif                     （7-16）
由式（7-14）可知，只要利用t时刻的状态变量计算出http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image028.gif。该积分过程称为显式积分过程，有时也称为显式直接积分法。

另外应注意到，在计算时刻http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image038.gif，即:
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image040.gif （7-17）
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image042.gif没有实际的物理含义，只是差分运算中的辅助变量。表7-1概括了可在计算机上实现的时间积分格式。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/35.gif

    在有限元方法中：
                              http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image069.gif                                       （7-18）
因此，在式（7-16）中可在单元一级上将每个单元对有效载荷向量的贡献相加而得到：
                              http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image071.gif                          （7-19）

式（7-19）的优点是很明显的。它不需要计算总刚度矩阵和总质量矩阵，求解过程基本上是在单元一级上进行，因此所需的计算机内存很少。

使用中心差分法要求时间步长http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image075.gif：
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image081.gif （7-20）
其中http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image083.gif是系统固有振动中的最小周期。

要求时间步长http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image075_0002.gif，则积分不稳定，数值积分的误差会随时间的增长逐渐增大，使响应的计算失去意义。

二、Houbolt法

    Houbolt方法与中心差分方法的区别是差分形式不同，它采用的是向后差分格式：
                              http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image087.gif                         （7-21）
                              http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image089.gif                        （7-22）
其误差也为http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image091.gif阶。

    为了得到t+http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image073_0004.gif时刻的动平衡方程
                                  http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image093.gif                                 （7-23）
将式（7-21）和式（7-22）代人式（7-23）中，整理得：
                                          http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image095.gif                                        （7-24）
式中http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image097.gif分别称为有效质量矩阵和有效载荷向量，分别为：
                                  http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image099.gif                                      （7-25）
                http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image101.gif          （7-26）

求解http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image112_0000.gif。表7-2概括了在计算机程序中使用的Houbolt积分过程。

Houbolt法在求解t+http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image073_0008.gif可以比中心差分法的步长大一些。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/36.gif
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/37.gif

三、Wilson-http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image028_0001.gif法

Wilson-http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image039.gif。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image048.gif

图6-1 Wilson-http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image028_0004.gif法的线形加速度假定

Wilson-http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image111.gif时刻的各状态量。该方法也是一个隐式积分方法。表7-3给出了在积分中所用的整个算法。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/38.gif
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/39.gif

四、Newmark法

    Newmark法也是线性加速度法的推广，采用如下形式的近似表达式：
                                  http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image130.gif                               （7-40）
                                  http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image132.gif                      （7-41）
其中http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image143.gif，在这种情况下，它是一种定常平均加速度法（如图7-2），是无条件稳定的。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image147.gif

图7-2 Newmark定常平均加速度格式

为了得到http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image149_0000.gif时刻的平衡方程式：
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image151.gif （7-42）
由式〔7-41），将http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image162.gif。

表7-4中给出了Newmark积分格式的算法。如果注意到Newmark法和Wilson-http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/7-3_clip_image028_0007.gif法的相似性，就能在一个简单的计算机程序中很方便地实现这两个积分格式。

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/40.gif

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2009/04/wlkc2/dd07/pic/7.3/41.gif

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