有限元自由度_wondering

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有限元自由度

(2010-06-11 18:00:42)

标签：

杂谈

分类：软件学习

有限元自由度

　finite element method

　　有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系．

　　基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

原理

　　将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

运用步骤

　　步骤1：剖分:

　　将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素（单元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元的顶点称为节点（或结点）．

　　步骤2：单元分析:

　　进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数

　　步骤3：求解近似变分方程

　　用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。

　　有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。我国著名力学家，教育家徐芝纶院士（河海大学教授）首次将有限元法引入我国，对它的应用起了很大的推动作用。

派生

　　从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。如有限条法、边界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题。

请教关于单元自由度的问题

我现在正在学习有限元的相关知识，现在有一些问题搞得不太明白，想请教大家
1)有限元中，梁单元的节点有6个自由度，壳单元节点有5个自由度，而体单元节点有3个自由度，这些自由度是不是不能脱离单元的，就是说一个点在空间是否也具有6个自由度？
2)我们所说的壳和体单元的节点并不具有六个自由度，是因为它们本身就只具有5个或3个自由度，还是因为他们的节点其实也具有六个自由度，只是我们省去的自由度是可以用另外的自由度来表示出来的。
3)就是用耦合的方法连接这些不同自由度的单元时，有什么原则吗。比如说，我想连接梁与实体单元，将梁一端点上有6个自由度的点与体上的几个有三个自由度的节点相连，这时我应该如何选择？这时选择"UXUYUZRXRYRZ"与选"UXUYUZ"效果是否一样呢？
问题有点多，不好意思，能回答个算一个，请大家指教。谢谢

答：1 理论上讲，每个节点都可以有 6 个自由度，所以有些 CAE 程序规定每个节点都有 6 个自由度，不用的可以约束掉，如 Nastran 就是这样。
2 壳体单元的节点，在单元坐标系中是 5 个自由度，转换到总体坐标系也是 6 个自由度。而实体单元，其本身只有 3 个自由度，即没有转动自由度。但是这是单元的特性，说到整个结构，还是有 6 个自由度，只是默认将节点的转动自由度处理为零，而整个结构的转动可以用几个节点的平移表示。
3 耦合连接不同自由度节点时，同类自由度可以对应耦合，不同类的自由度，一个转动需要与至少两个平移相耦合。至于如何耦合，与具体的 CAE 软件有关，多数需要用多点约束方程进行耦合。

首先非常感谢htbbzzg的解答，真是让我受益非浅。另外我还有一点想请教，就是总体坐标下各单元节点的自由度均为6个，那么有限元软件（以nastran为例）中的多点约束的选项框中都可以选择6个自由度，这些自由度是否就是基于总体坐标系下的，而对体单元节点来说，默认将节点的转动自由度处理为零，那在建立与体元相关的MPC时，例如将梁的转动与体元节点转动耦合，是否就意味着梁节点的转动自由也是零，还是说若选择了体元节点的转动自由度实际上是无效的，只能用两个以上平移自由度来耦合梁单元的转动自由度。（恕我愚钝，自由度为零不太好理解）。

答：可能我说的太简单了，自由度为零就是说自由度的值为零。对于体单元，其节点实际上没有转动自由度，如果在数据段设置 Autospc,yes，则 Nastran 自动将没有刚度的自由度约束为零，即将体节点 (只与体元相连的节点) 的转动自由度约束未零。如果设置 Autospc,no，那么只与体单元连接的节点，其转动自由度将不受约束，因而刚度矩阵是奇异的，不能求解。

如果将梁节点的转动自由度与体节点的转动自由度耦合，且又设置了 Autospc,yes，那么按照 Nastran 的规定，该自由度就应该为零。如果没有设置 Autospc,yes，那么应是反过来，体节点的转动自由度等于梁节点的转动自由度。

目前我认为，自由度是指未加约束的某些参数，这些参数会随着环境的不同而不同，需要在分析中标示，举例，在电磁场分析中使用载压绞线圈，所加激励为电压，线圈中电流会随着阻抗的变化而变化，所以此处电流即为自由度。

我的理解就是，自由度是指有几个待求解的量。比如，求解电磁场，Plane53单元比Plane13单元多Current这个自由度，就是说，plane53可以用于求解内部的电流分布。

各位有限元高手，请问一下 Ansys 中接触单元是不是 goodman 单元？
如果不是的话，应该叫什么单元？
我相信有不少同志不是太清楚，呵呵，也包括我！
请高手们发表高见！