泛函中的几个空间

赋范线性空间、Banach空间、度量空间、内积空间的，希尔伯特空间(hilbert空间)

赋范空间的基本概念

1 赋范空间的定义与基本性

 定义  设 是域 上的线性空间，函数 ： 满足条件：

1)    对任意， ；且 ，当且仅当 ；

2)    对任意及 ，  (齐次性)；

3)    对任意，  (三角形不等式)

称 是上的一个范数， 上定义了范数 称为赋范(线性)空间，记为，有时简记为 。

（1）赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里德空间 Rn 的推广。Rn中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是： 

零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。 

一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长度应变为原向量 v 的 |a|（ a 的绝对值）倍。 

三角不等式成立。也就是说，对于两个向量 v 和 u ，它们的长度和（“三角形”的两边）大于 v+u （第三边）的长度。 

一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质，就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数值是零，那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间 

（2）Banach空间是完备的线性赋范向量空间。完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。 巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。

    巴拿赫空间是一种赋有长度的线性空间，大多数都是无穷空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。同时也是泛函分析研究的基本对象之一。里斯。F在1909年就给出了『0，1』上连续线性泛函的表达式。所以，连续线性泛函的表示是巴拿赫空间的一种初等性质。

（3）在数学中,度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离(叫做度量)的概念 

（4）内积空间的定义：设V是数域P上的线性空间，V到P的一个代数运算（V×V－>P），记为 (ɑ,ß) 。如果(ɑ,ß)满足下列条件： 

1) (ɑ,ß) = (ß,ɑ)； 

2) (ɑ+ß,γ) = (ɑ,γ) + (ß,γ)； 

3) (kɑ,ß) = k(ɑ,ß)； 

4) (ɑ,ɑ)≥0，当且仅当ɑ=0时(ɑ,ɑ)=0， 

其中k是数域P中的任意数，ɑ、ß、γ是V中的任意元素，则称(ɑ,ß)为ɑ与ß的内积，定义了内积的线性空间V称为内积空间。特别地，称实数域R上的内积空间V为Euclid空间（欧式空间）；称复数域C上的内积空间V为酉空间。 

（5）希尔伯特空间：在一个复向量空间H上的给定的内积并导出一种范数，如果其对于这个范数来说是完备的，那么它就是希尔伯特空间。这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念），希尔伯特空间还是一个完备的空间。