在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支，它们所研究的基本上都是一些不变量(常量)．不过前者侧重于空间形式，而后者则侧重于数量关系．在方法上，它们也基本上是互不相关的．甚至在古希腊的论证几何学中还排斥代数方法的应用．解析几何学的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何与代数方法实现了结合．下面分别介绍解析几何发展过程中各个历史阶段主要数学家的思想方法．

　　一、解析几何创立时期

　　解析几何是十七世纪四十年代由法国数学家费马和笛卡尔所创立的．

　　1．费马的思想方法．

　　费马(Fermat，1601—1665)是十七世纪伟大的数学家之一．他出身于商人家庭，在都鲁斯学过法律，并以当律师谋生．费马曾是都鲁斯议会的顾问，研究数学是他的业余爱好．他自小喜欢博览群书，不仅精通多国语言和文学，而且喜欢自然科学，三十岁左右对数学发生强烈兴趣，特别注重于数论、几何、分析、概率论等方面的研究．他谦虚好静，平生很少发表文章，其研究成果大都是去世后在他的遗物中发现的，也有一些是他与朋友的通信中发现的．费马在数论方面发现了很多定理．他是一个伟大的直观天才，他提出的许多命题只有一个是错误的，其中还有一个尚未证明的定理——费马大定理．费马曾说他用自己首创的无穷下推法证明了这个定理，后人一直没有找到他的证明．费马的著作有《平面和立体轨迹引论》、《求最大和最小的方法》等．

　　(1)引进坐标，系统地研究曲线的方程．1629年费马写成《平面和立体轨迹引论》，在这篇文章中他把希腊数学中使用立体图而苦心研究发现的曲线的特征，通过引进坐标译成了代数语言，从而使各种不同的曲线有了代数方程一般的表示方法．费马还具体地研究了直线、圆和其它圆锥曲线的方程．

　　(2)通过坐标的平移和旋转化简方程．费马注意到了坐标可以平移或旋转．他曾给出一些较复杂的二次方程，然后通过平移或旋转将它们化为简单的形式．

　　(3)空间解析几何思想的萌芽．1643年，费马在一封信中，曾简短地描述了三维解析几何的思想．

　　2．笛卡尔的思想方法．

　　笛卡尔1596年3月31日生于土伦的拉哈耶，父亲是个相当富有的律师．笛卡尔20岁毕业于普瓦界大学，去巴黎当了律师．在巴黎他认识了米道奇(Mydorge，1585—1647)和梅森(Marin Mersenne，1588—1648)，花了一年时间和他们一起研究数学．当时有一种风气，即有志之士不是致力于宗教就是献身于军事．因此，笛卡尔赶了时髦，应征入伍，遍历欧洲．笛卡尔献身数学，完全出于一个偶然的机会．1617年服役期间，在荷兰布莱达遇到一张数学难题招贴，他看不懂上面的佛来米语，一位中年人热心地给他作了翻译，第二天他把解答交给那个中年人．中年人对笛卡尔的解答非常吃惊：巧妙的解题方法，准确无误的计算，说明了这位年轻士兵的数学造诣不浅．原来这位中年人就是当时有名的荷兰数学家别克曼(Isaac Beeckeman，1588—1637)教授．这使他自信有数学才能，从此开始在别克曼教授指导下认真地钻研数学．1628年，他移居荷兰，在较为安静自由的学术环境里住了二十年，写出了他的名著．笛卡尔的著作主要有《思想的指导法则》、《世界体系》、《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》等．《方法论》的附录之一《几何》中包括了他关于解析几何和代数的思想．

　　笛卡尔的中心思想是要建立起一种普遍的数，使算术、代数和几何统一起来．其思想方法主要表现在以下几方面：

　　(1)引入坐标观念．笛卡尔从自古已知的天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x，y)的对应关系，从而建立起坐标的观念．

　　(2)用方程表示曲线的思想．笛卡尔把互相关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线．考虑二元方程F(x，y)=0的性质，满足这方程的x，y值无穷多，当x变化时，y值也跟着变化，x，y的不同的数值所确定平面上许多不同的点，便构成了一条曲线．具有某种性质的点之间有某种关系，笛卡尔说：“这关系可用一个方程来表示”，这就是用方程来表示曲线的思想．这样，就可以用一个二元方程来表示平面曲线，并根据方程的代数性质来研究相应曲线的几何性质；反过来，可以根据已知曲线的几何性质，确定曲线的方程，并用几何的观点来考察方程的代数性质．

　　(3)推广了曲线的概念．笛卡尔不但接纳以前被排斥的曲线，而且开辟了整个的曲线领域．笛卡尔所说的曲线，是指具有代数方程的那一种．他认为，几何曲线是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表示的曲线。这就取消了曲线是否存在看它是否可以画出这个判别标准。但是，笛卡尔关于曲线概念的推广并不彻底，几何曲线未必都能用代数方程表示出来．莱布尼兹(Leibniz，1646—1716)把有代数方程的曲线叫代数曲线，否则叫超越曲线．实际上笛卡尔及其同时代人都以同样的热情去研究旋轮线、对数曲线、对数螺线(logρ=aθ)和其它非代数曲线．

　　(4)按方程的次数对几何曲线分类．按照笛卡尔的观点，含x和y的一次和二次曲线属于第一类，即最简单的类；三次和四次方程的曲线构成第二类；五次和六次方程的曲线构成第三类；余类推．之所以如此分类，是因为笛卡尔相信每一类中高次的可以化为低次的．如四次方程的解可以通过三次方程的解来求出．然而他这个信念是不对的．

　　笛卡尔的成就是与他的思想奔放、善于独立思考、敢于大胆质疑的精神分不开的．还是在少年时代，他就有强烈的求知欲，除了学校规定的课程外，还大量地阅读了课外书籍．尤其可贵的是，他对书本知识从不盲从．他说：“决不可过分相信自己单单从例证和传统说法中所学到的东西．”正是这种在传统观念面前敢于破除迷信的精神，使他不仅在数学中开拓了新领域，同时还在物理学、生理学、哲学等学科中也作出了重要贡献．

　　二、解析几何发展和完善阶段

　　笛卡尔创立了解析几何，但是严格地说它还是很不完善的，许多方面还有待修改和补充．当时许多数学家为解析几何的发展和完善作了大量工作．

　　1．瓦里斯关于负纵横坐标的思想．

　　笛卡尔建立的坐标系只限于正的范围，即第一象限．为了使解析几何所考虑的曲线范围扩大到整个平面，1655年英国数学家瓦里斯(Wallis，1616—1703)有意识地引进了负的纵横坐标．瓦里斯还导出了各种圆锥曲线的方程，并且从这些方程都是二次的情况下，把圆锥曲线定义为：含两个变量的二次方程的曲线．

　　2．伯努利等人的极坐标思想．

　　在解析几何的发展过程中，由于引进了极坐标的概念，使对曲线的认识更加深刻．这一工作最早是由詹姆斯·伯努利(James Bernoulli，1655—1705)推进的．1691年他发表了关于极坐标的一篇文章，发明了极坐标；后来他又引进了双钮线、对数螺线、旋轮线等各种特殊曲线．1729年法国数学家雅各·赫尔曼(Jacob Hermann，1678—1733)把极坐标的概念进一步完善，并给出了直角坐标和极坐标的变换公式．欧拉第一次在极坐标中明确地使用三角函数，给出了极坐标系，还引进了曲线的参数表示式．

　　3．拉·希尔、克雷罗、欧拉等人的空间解析几何思想．

　　解析几何的一个重要发展是由平面推广到空间．1679年拉·希尔(La Hire，1640—1718)对三维坐标几何作了较为特殊的讨论．他先用三个坐标表示空间中的点P，然后写出曲线的方程．1715年詹姆斯的弟弟约翰·伯努利(John Bernoulli，1667—1748)首先引用了我们现在通用的三个坐标平面．在此基础上，通过帕朗(Parent，1666—1716)、克雷罗(Alexis Claude Clairaut，1713—1765)、赫尔曼等人的工作，弄清了曲面能用三个坐标变量表示的观念．1731年法国数学家克雷罗又指出，描述一条空间曲线需要两个曲面方程；而空间曲线的投影方程，即垂直于投影平面的柱面方程，可以通过决定这条曲线的两个曲面方程的某种组合给出．1732年赫尔曼给出了绕z轴旋转的方程的一般形式：x²＋y²=f(z)．1748年欧拉给出了空间坐标变换公式和曲面的六种标准形式——锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、双曲抛物面以及抛物柱面．后来蒙日(Monge，1764—1818)和他的学生哈息特(Jean—Nico-las Pierre Hachette，1769—1834)一起证明了二次曲面的每一个平面截口是一条二次曲线，并且还证明了单叶双曲面和双曲抛物面是直纹曲面．

　　4．拉格朗日的向量思想．

　　解析几何的又一个重要发展是由法国数学家拉格朗日推动的．1788年拉格朗日在《解析力学》中以类似后来的向量形式表示力、速度等具有方向的量．虽然他没有对这个概念作进一步推进，但是这种概念一经提出就引起了数学家与物理学家的注意．十九世纪八十年代一门叫做向量分析或向量代数的学科在美国数学家吉布斯(Josiah Willard Gibbs，1839—1903)和英国数学家希维赛德(Oliver Heaviside，1850—1925)的努力下诞生了．正如吉布斯所预料的，向量分析的出现立即对解析几何产生了深刻的影响．

　　三、解析几何的重要意义

　　解析几何的创立，不仅对于数学的研究和发展，而且对于科学的进步都具有重要的深远的意义．

　　1．解析几何为几何研究提供了新方法．

　　笛卡尔本来想通过解析几何来给几何引进一种新方法，然而他的成就却远远超过了他的期望．利用解析几何的方法，平面几何中必须分别处理的情况，就可以用代数来统一处理．例如，在平面几何中证明三角形的高交于一点时，必须分别考虑交点在三角形内部和外部，而用解析几何来证，则不加区别．

　　2．解析几何使几何和代数达到了完美的统一．

　　解析几何作为数学研究的重要的、有效的工具，集几何与代数的优点于一体，为数学的研究带来了方便．在这里，几何概念可以用代数表示，几何的目标，可以通过代数达到；反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论．欧拉通过坐标变换，把一般二次方程Ax²＋Bxy+Cy²+Dx+Ey＋F=0所表示的二次曲线化归为以下九种标准形状之一：

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　　y²-2px=0 (抛物线) 　　　　　　　　　　　　　　(6)

　　x²-a²=0 (二平行直线) 　　　　　　　　　　　　　(7)

　　x²＋a²=0 (二平行虚直线) 　　　　　　　　　　　(8)

　　x²=0 (二重合直线) 　　　　　　　　　　　　　　(9)

　　一般二次曲线的上述分类，使我们能够借助几何方法来研究某些代数问题．例如，考察下面的有趣例子：

　　已知实数x，y满足方程x²-2x＋2y²＝0，求z=x²＋y²的最大值与最小值．

　　因满足题给方程的x，y应在椭圆

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　　上，(如图2—1)，而z=x²+y²为椭圆上一点(x，y)到原点的距离的平方，故z_max=2²=4，z_min=0

　　正如拉格朗日所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄．但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善．”

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　　3．解析几何为科学技术提供了数量工具．

　　随着科学技术的日益发展，迫切需要数学为其提供一种使用方便的数量工具，这在十七世纪成为一种公开的需求．而解析几何的创立恰好适应了这种需要．解析几何对曲线的研究使人们对曲线的性质认识更深刻．圆锥曲线由于自身的某些特殊性质，在实际应用中有其重要的价值，特别表现在物理学、光学等方面的应用．如根据抛物线的性质，牛顿制成了反射望远镜．现代的探照灯也是利用抛物镜面的聚焦性而制成的．

　　把科学应用到短程测地学、航海学、日历计算、天文预测、抛射物体的运动等，都需要数量知识，而正是解析几何把形象和路线表为代数的形式，从而导出了数量知识．

　　4．解析几何的创立使代数成为基本的数学科目．

　　从希腊时代到1600年，几何统治着数学，代数居于附庸的地位．而解析几何为倒换代数和几何的作用铺平了道路．1600年以后，代数才从几何统治的桎梏下解放出来，成为一门独立的基础数学科目，占据了它在数学中应有的地位．