玛丽莲问题之我见

  “玛丽莲问题”中最著名的是“Behind Monty Hall’s Doors“，简称“The Monty Hall Problem”。《电脑爱好者》杂志1999年第一期上发表了一篇题为《您是否愿意换选二号门》的文章。该文介绍的玛丽莲问题，是指美国畅销杂志《检阅》的“玛丽莲”专栏上的一则趣味数学题：有三扇门可供选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊。你当然想选中汽车。主持人让你随便选。比如，你选中了一号门。于是，主持人打开了后面是山羊的一扇门，比如是三号门。现在主持人问你：“为了以较大的概率选中汽车，你是坚持选一号门，还是愿意换选二号门?”最后专栏主持人玛丽莲小姐公布的正确答案是：应该换选二号门。出乎意料的是，这一问题居然引起了美国公众的广泛注意。大约有一千多所大、中、小学进行过该题目的测验，从二年级的小学生到研究生都参与了争论。最有趣的是，在给玛丽莲小姐的一万多封读者来信中，有约一千封是具有博士头衔的读者写的，他们全都说：“玛丽莲小姐错了!”其中，乔治"梅森大学的萨克森教授这样写道：“你在胡说什么!我来解释给你听：主持人把没有汽车的一扇门打开了，剩下的两扇门的后面有平等的机会是一辆车，它们的概率都是1／2，因此不必换选二号门了。”。

  上面所描述的问题是从网上摘的。这个事情在全世界范围内都展开了巨大的讨论。很多人说是换，很多人说是不换。为什么这样一个问题，会引起这么大的讨论而且大家都各抒己见，都非常有理，到底是什么东西迷惑了大家的眼睛。

 假定有三个同样的你去参加这个游戏：第一个你参加的是单人游戏，你选择了一个门后，主持人已经知情故意打开另一个有羊的门，（主持人行为你已知情，知道故意）然后问你换不换？第二个你参加的也是一个单人游戏，在你作出选择后，主持人将会在剩余两个门中随机的打开一个，（主持人行为你已知情）他恰好打开了有羊的门。主持人问你换不换？第三个你参加的是单人游戏，在你作出选择后，主持人打开一扇有羊的门，没人知道他是故意的，还是随机的，就是玛丽莲问题，问你换不换？

   如果在主持人打开有羊的门之后，外面突然闯进了一个人，我们告诉他，这两个箱子中有一个是汽车，一个是羊，问他感觉选哪一个比较好。他会如何选择呢？

对于这些问题，我们的分析只能建立在我们学过的概率论上。概率论是人们在探索自然界和生活中得出的理论，建立在随机和独立等一些我们直观理解认为正确的东西之上。我们首先假定概率论是没有问题的。问题是我们如何决定换还是不换，我们为什么换或者为什么不换？我们的目的是选中那辆汽车。那就是要看我们换选中汽车的概率大还是不换选中汽车的概率大。所谓的概率就是一个试验进行无数次得出的结果。

我们要把游戏多进行几次，看一下到底换得到汽车的次数多还是不换得到汽车的次数多。假想试验一：试验进行次数3*E+10

 由概率论知识，在这么多实验中，可以知道你第一次选中有车门的次数约为1E+10次,选中有羊的门的次数约为2*E10。这样由游戏规则，主持人会故意打开一扇有羊的门（主持人不会打开你选的门）。你如果每次都选择不换，则你在这些试验后，中汽车的次数为1E+10次。如果你每次都选择换，只要你选择了有羊的门你必将会中得汽车，所以换你选中汽车的次数为2*E10次。综上可见在这种情况下选择换会比不换会有更大的中奖概率。因而我们做出判断：换。

假想试验二：试验进行次数3*E+10

假定有车的门叫1，另外两个有羊的门分被叫做2，3。（车羊门位置均不变，假定你做完一次试验后，马上失去这一次试验记忆，比较理想，有助于理解整个过程）在这么多实验中，你选中1，2，3的次数分别约为1E+10次。在你选中有羊的门2*E10次时，由于主持人会随机的打开剩余的一扇，有车的门将会有约1*E10次被提前打开。Game over你将被提前淘汰。.这样在整个实验中：如果你每次都选择换的话，你中汽车的次数为1E+10次，如果你每次都选择不换的话，你中汽车的次数也会约为1E+10次。综上所述：你换与不换中奖的概率是相同的。换与不换都一样。

假想试验三：这个实验由于我们不知道主持人到底是故意还是随机打开的，我们无法决定下一个实验会出现什么结果，由于我们知道的信息不够完整，我们无法多次进行这个实验。我们将如何做出判断？如果有人在这时做出了判断那他很可能就是套用了上面两个模型中的一个或者下面的概率模型，或者别的情况中的一个。

  至于那个外来人，他一定会根据我们知道的概率论知识，两扇门，一扇后面有车，一扇有羊，他什么都不知道，这是一个很常见的概率模型，显然选哪一个概率都一样，都是1/2。他会很快做出判断：两个都一样。

 这有时会令我们倍感困惑，我们面对同一个事实（你选择了一扇门，主持人打开了一个空箱子，问你换还是不换？），虽然造成这个事实的过程是不一致的，我们为什么要做出不同的判断呢？在同一个情况下应该只有一种最好的选择啊！？怎么会因为我们造成这个情况的主持人想法不一样而做出不同的选择呢？

  在这些问题中我们依据的准则都是概率论，概率的大小。但是在同一个事实下为什么会做出不同的判断呢？原因是我们得到的信息是不一样的，在信息不一样的情况下，我们会得出不同的概率。我们可能会更加疑惑，难道就是因为我们知道的信息不一样，同一个事实下的概率就会不一样吗？（还是这不是同一个事实呢？）我们得到的信息就是这个问题的过程及规则，在上面问题中，第一个你和第二个你都是在第一步是完全等价的，都是随机选的，区别在第二步主持人是随机和故意，这一步行动虽然形成了一样的结果，但为什么会导致我们选择的不同，到底哪一个选择才是好的呢？在这两个过程进行中，主持人的行为对这个事实输入了不同的信息，概率是一种经典的统计理论，事件之间的联系都是在一种在我们传统的时空概念下理解的一种联系，它是建立在假想统计基础上的。

  换个角度描述玛丽莲问题，在我们做出选择后，主持人打开一扇门，结果后面是羊。依照我们得到的信息，我们显然是无法在传统的概率论中找到答案—换还是不换。这时主持人如果告诉我们，在这两扇门中我是存心要打开有羊的门的，这时我们学过的概率论便有了用武之地。如果他说这两扇门我是随机打开的，我们也获得了足以可以利用概率论的信息。如果在主持人打开有羊的门之后，外面突然闯进了一个人，我们告诉他，这两个箱子中有一个是汽车，一个是羊，你感觉选哪一个比较好。那它得到的信息也完全可以按照概率论中的模型，两个中有一个的话，则每一个有汽车的概率都是1/2，所以这个外来人的选择是哪一个都一样。如果说这个外来人是因为得到的信息少而不能做出好的判断的话，那第一个你或者第二个你的判断则是完全建立在信息不同的基础上。如果我们还认为我们的经典的概率统计是正确的话，我们就得认为主持人在打开门时的不同意念已经对后面的结果产生了影响，虽然他打开的都是空箱子。这样我们面临的事实与前面的行为是有联系的，所以我们就得做出不同的判断。做出这些判断的前提就是我们认为概率论是完全正确的，它的传统统计理论在对一次事件的判断上是完全合理和有效的。在现实中我们可能会面临很多需要依靠概率解决的问题，我们面对的往往只是一个客观的现实。由于我们得到的信息的不同可能会做出不同的判断，而且我们无法决定到底哪一个是好的，我们是否得到了最全的信息。或者是我们根本就没有形成这个事实的信息，这时我们的概率论将无法再指导我们做出任何判断了。

 假定我们再做一个抛硬币的实验，两枚硬币各抛一次，我们随机的掏出一枚一看，哇赛，正面。那另一枚是什么面的概率比较大呢？同样，这个实验我们做个假想试验的话，假定作了4*E+10次，出现正正的有1*E10次，反反的为1*E+10次。正反的会有2*E+10次，我们随机掏出一枚出现正面的次数正正1*E10次，正反2*E10次中我们可能随机掏出正面的次数约为1*E10次。这样我们在这次实验中随机掏出正面次数为2*E10次，我们猜另一枚是正反的概率就该相等了。假定两枚硬币各抛一次后，我们找个人，“如果出现正面的话就跟我们说一声”。这样有正面的话我们就可以知道了。再重复做一个假想试验，很容易我们就知道另一枚是反面的概率是2/3，正面的概率是1/3。再假定两枚硬币各抛一次后，我们知道了其中一枚是正面。那你猜一下另一枚是什么面把？