图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式(原创）

陆美球

一、球体面积

球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。

设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形。

http://s7/mw690/62e9d718g08931061bec6&690

http://s6/mw690/62e9d718gda84e8d87ff5&690

http://s12/mw690/62e9d718gda84ea5b18db&690

如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。

http://s15/mw690/62e9d718gda84ed5ebc0e&690

http://s3/mw690/62e9d718gda84eed5d8b2&690

在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。

即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六）

http://s9/mw690/62e9d718gda84f1785f88&690

例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式 S=1/4周长×周长）

S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡

二、球体体积

设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。

http://s15/mw690/62e9d718gda84f8cd6fee&690

http://s6/mw690/62e9d718gda84f9c67ed5&690

http://s16/mw690/62e9d718gda84fbc91c3f&690

http://s11/mw690/62e9d718gda84fd421d0a&690

从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。

则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4

或：V = D（直径的三次方）×0.616849233

例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式）

V =πR平方×周长的1/4

= 3.14159×0.25×0.7853975

= 0.616849233

三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误

1、球体面积

如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。

图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。

计算过程：

S =（1.570795×0.7853975） = 1.2336㎡

公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。

计算过程：

S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡

http://s13/mw690/62e9d718gda8500c404dc&690

2、球体体积

如何检验球体体积计算的正确，最好的方法就是用溢水法进行检验。根据公知的容积单位：每立方米的水为1000升，每立方厘米的水为1毫升。因此我们可以将同直径的球体分别用两种不同的公式计算，将计算结果再与用溢水法实际测量的结果进行对比。

在大量的实验中我们的确发现了公知公式的问题，下表是实验中两种公式计算结果与实际测量的数据对比（球体体积）：

http://s7/mw690/62e9d718gda8502be5886&690

上表数据对比清楚的表明，用量筒实际测量的结果与新公式计算的结果最为接近，可以证明球体体积新公式是正确可靠的。

                                                                  陆美球

                                                             2013年4月17日10时13分