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1 极限存在、连续和可导

（1）判定条件：

可导：该点连续，左导数等于右导数。

连续：左极限等于右极限等于函数值。

极限存在：左极限等于右极限。

（2）关系：

可导——>连续——>极限存在

上式从左边可以推出右边，右边不能推出左边。具体而言，一个函数如果可导，一定连续；如果在某点连续，该点极限一定存在。反过来，如果函数在某点极限存在，由于该点可能没有定义，所以不一定连续；如果函数在某点连续，由于该点可能是尖点（比如y=|x|在x=0处），所以导数不一定存在。

下面结合真题来巩固一下：

例1：

http://5b0988e595225.cdn.sohucs.com/images/20171215/cfc6d36eae614bf6b5485b8e57b20309.png

解析：根据题干，f（x）在x=a点极限存在，由于极限存在的点可能没有定义，该点不一定连续或可导。所以这题选E.

例2：

http://5b0988e595225.cdn.sohucs.com/images/20171215/c3dbb56468b74ebea08e4cf7e1a4e68d.jpeg

解析：

在x=3，f（x）的左极限为9，右极限为9，函数值为9，满足左极限等于右极限等于函数值，该点连续。

又因为左导数为6，右导数也为6，左导数等于右导数，该点可导。所以这题选E。

2

极临界点，驻点，极值点和拐点

（1）判定条件：

临界点（critical point）：导数为零或者不存在的点。

驻点（stationary point）：导数为零的点。

极值点（relative extrema）:局部最大值或者最小值。该点前后一阶导符号发生变化。一阶导由大于零变为小于零，为极大值；由小于零变为大于零，为极小值。

拐点（inflection point）：函数凸凹性变化的点。该点前后二阶导符号发生变化。

（2）关系：

临界点包括驻点和导数不存在的点。

极值点要在临界点里找，临界点不一定为极值点。比如y=x^3，x=0处为临界点，但不是极值点。

判断临界点是否为极值点的唯一原则——在该点前后函数一阶导符号（即函数单调性）是否发生变化。

临界点、驻点和极值点与函数的一阶导有关，拐点与函数的二阶导有关，拐点前后二阶导符号发生变化。

下面结合真题来巩固一下:

例1：

http://5b0988e595225.cdn.sohucs.com/images/20171215/752f342ce9284d61a164fa9396c9424b.jpeg

解析：

（a）第一步：找critical point。极值点要到临界点里找，临界点是一阶导为零或者不存在的点。上图为一阶导图像，x=--3，1，4时一阶导为零，为临界点。

第二步：在critical point里选出该点前后一阶导由大于零变为小于零的点。图中为x=-3和x=4。

所以该问答案为x=-3和x=4，f' changes from positive to negative at -3 and 4。

补充说明：由于极值点不能在区间端点产生（极值点是该点邻域内最大或最小点，区间端点只有半个邻域，无法判定该点是否是邻域内最大或最小），所以不考虑x=-5处。

（b）找二阶导符号发生变化的点。二阶导为一阶导的导数。当一阶导递增时，二阶导大于零；当一阶导递减时，二阶导小于零。f'在-4，-1，2单调性发生变化，这三点为拐点。

所以该问答案为：f' changes from increasing to decreasing， or vice versa， at x=-4，-1 and 2. Thus the graph of f has inflection point at x=-4，-1 and 2。

（c）increasing对应一阶导大于零，concave up对应二阶导大于零（一阶导递增）。图中大于零且递增的部分为-5

所以该问答案为：the graph of f is concave up with positive slope where f' is increasing and positive :-5

以上就是对两组AP微积分易混淆概念的区分，你掌握了吗？