（我哥寫的數學書。不知啥玩藝。他堅稱普羅百姓只要識字的都能看懂。我就一句也看不懂。他從大學起就不上課了天天路燈下研究這個。。。）

             前言
　　这本《数学原本》是以极端高级、严密、规范的方式写成的。她大异于一般的数学书，我想应该是您从未见过的。您只要仔细阅读就会发现这一点。作为我本人来说，写一本普通“科普”式的数学书一定是多余的，还不如不写。
　　本书首先为数学提供一个严密的形式化基础（在§?“元数学引论”中），然后，在该基础上展开作为形式理论的“经典数学”之最基础的内容：
　　集合论（§A），范畴论（§B），泛代数（§C），模型论（§D），基础代数（§E）。
　　这样，本书可分为“部分I”与“部分II”：
　　“部分I”是§?这特殊的一章，“部分II”是余下的§A、§B、§C、§D、§E这5章。
　　如果说“部分I”是数学这棵大树的根部，那么“部分II”则处于其树身的底部——由这个底部出发，我们可以构建出全部的数学大厦。
　　“部分I”是非形式的或直觉的，其内容是构建和讨论形式系统QMK，属于“元数学”的范畴。
　　“部分II”所从事的，是从“部分Ⅰ”出发，来展开作为形式化理论的经典数学中最基础的内容。除少数地方外，属于“形式数学”的范畴。
　　Euclid在其著名的《几何原本》中第一次对数学的一个分支——几何学进行了公理化，使之基本上成为一个演绎系统。十九世纪末，G．Peano又完成了算术的公理化。在其后兴起的公理化运动中，数学的许多其它分支也陆续完成了公理化。G．Frege在公理化思想之上进一步提出了形式化思想，从而以严密的形式系统取代了原来素朴的或直觉的公理系统。“元数学”所研究的正是形式系统。
　　元数学与经典数学的本质区别在于：前者是非形式的或直觉的，后者则是形式的；就研究方法而言，前者严格局限于有限性方法，后者则没有这个限制。
　　那么，什么是有限性方法呢？法国数学家J．Herbrand给出了一个极好的描述。他说：
　　“（有限性方法）就是指满足以下条件的一种论证：其中人们所涉及的只是有限的和确定的对象；它们都是明确定义的，而且这种定义可以保证对它们进行单值的计算；除非指明构造方法，我们决不断言一个客体的存在；我们决不断言一个无穷整体的所有对象x所构成的集合的存在；当我们说一个证明或定理对于所有这些x都成立时，是指对于每一个特殊的x而言，都可重复问题的一般证明，从而这种证明事实上也就是特殊证明的一种原型或模板”。
　　经典数学既已成为形式理论，它就应该建立在一个形式系统的基础之上，而这个系统本身的表述必须具有严格的有限性。例如，要求其中只有有限个形式符号。
　　经典数学可以化归为［形式］集合论，其形式系统自然也就是集合论的形式公理系统。
　　目前，这样的系统已有多个，其中使用最广的是ZFC。此外，NBG是在某种意义下与之等价的另一个著名系统。而本书所给出和使用的，则是强于它们的较为特殊的系统，作者将其命名为QMK（取自Quine-Frankel-Kelly）。
　　尽管人们并不希望公理系统太强，但本书仍采用QMK作为集合论的形式公理系统。其原因有三：
　　第一，与ZFC及NBG相比，QMK可以满足我们更多的需要，推演出更丰富的内容。例如，在QMK中，我们可以展开范畴论，可以定义“类值函数”，可以有“强选择公理”，可以定义论域为真类的模型及其“超积”，等等。这些在ZFC与NBG中是做不到的。
　　第二，在数学的许多地方，用QMK来处理远比ZFC与NBG方便、简明。
　　第三，尽管QMK强于ZFC，但当我们相信ZFC中的公理是“真实的”时，某种哲学信念将迫使我们承认QMK中的公理也是“真实的”。
　　D．Hilbert在其著名的“Hilbert纲领”中首次明确提出了形式系统的相容性、完备性、独立性问题。就形式系统QMK而言，已有如下结果：
　　（1）“QMK的相容性问题”——此问题不可解。因为，根据G?del第二不完备性定理可知：如果QMK是相容的，那么，证明这个相容性必然要用到极其“异常”的方法——它“异常”到不能在QMK中加以形式化的地步。
　　（2）“QMK的完备性问题”——根据G?del第一不完备性定理可知：如果QMK是相容的，那么它是不完备的，而且这种不完备性是无法“补救”的。
　　（3）“QMK的独立性问题”——此问题的结果是：如果QMK是相容的，那么它也一定是独立的。
　　由于本书是从原始的形式系统出发而展开的，书中的每一论断将只依赖于在它之前所介绍的内容（这种严格的逻辑顺序只在少数例子及注记中稍有放松）。也就是说，本书是完全自给自足的。因此，从理论上说，阅读它所需的预备知识为0。
　　本书热衷于介绍概念，却很少有具体实例说明。这是由本书的性质决定的。如果要详细讲解每一概念的来龙去脉，将会大大突破篇幅的限制。虽然这会使对一些概念的介绍显得抽象、空洞，但其在逻辑上是毫无问题的。而且，除了非常明显的命题，本书不会对任一定理的证明偷工减料。
　　从具体到抽象是数学发展的大道，具体的例子往往是抽象概念的源泉。但是也不能太过强调这一点。我认为，先抽象后具体，虽在直观上困难些，但这种困难只是暂时的。而且，随着您其后数学知识的积累，自然会对原先的抽象有更深刻的理解。
　　本书的符号化程度极高，能用符号表达的内容就尽量不用语言描述。若要用语言描述，也力求简短。
　　使用符号，是数学史上的一件大事。一套适合的符号，决不仅仅是起速记、节省时间的作用，它能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系，大大有助于人们的数学思维以及发现新概念、新思想。一个较复杂的公式，如果不用符号而用日常语言来叙述，往往十分冗长且含混不清。这一点在古代数学中显得尤为突出。
　　遗憾的是，现今仍有不少作者沉溺并习惯于用语言表述，而吝于使用符号。这实际上也会让读者阅读时感觉吃力而产生厌倦。
　　可能您会抱怨本书介绍的术语、记号过多，不适合普罗大众。但我深信，一个数学爱好者多记些额外的术语、记号，将会使他受益终身。
　　本书特别注重定义的严密和定理证明的严格、详尽。而对于某些定理的证明，特别是篇幅较长者，为不使它们过多地挤占正文版面，我们将其列于正文后的附录中。
　　如果您能通过对本书——特别是元数学部分——的阅读，而对数学严密性的理解达到一个真正完美的境界，作者将不甚欣慰！在书中元数学的部分里，“大源定理”对于经典数学达到真正的严密化是至关重要的。这一看似自明、实际证明却极为繁难的元数学定理，是作者上世纪八十年代末提出并证明的，请予以高度关注。
　　本书2009版为初版，2014版对初版中的“多项式C-代数”等内容作了重要增补，现在的2017版增加了“基础代数”一章。这一章包含了数系的扩张：
　　自然数→整数→有理数→实数→复数→四元数
这可视为数学严密化工作基本完成的一个重要标志。
　　虽然如此，限于篇幅，还是有大量的基础内容没有涉及。例如，交换环上的多项式、Boole代数、拓扑……
　　在进入前，请先阅读本书“使用说明”。这对您很重要！
　　为方便查找，我们对定义、定理实行统一编号，同时在书末编制了详尽的索引。
　　感谢您认真阅读本书！

安徽省绩溪县教育局 戴均
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