给定https://upload.wikimedia.org/math/4/1/5/415290769594460e2e485922904f345d.png的值称为内插。

https://upload.wikimedia.org/math/e/8/4/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png满足：

 https://upload.wikimedia.org/math/9/5/3/953b3e6b5017ce480ae8284ec83b7983.png

则称https://upload.wikimedia.org/math/d/f/c/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png上的插值函数。

插值分为内插和外插，如果在已知区间[a,b]内部取样就是内插，否则就是外插。

我理解，就是用有限的样本点去拟合实际情况。这里f(x)是实际情况，但是因为函数关系未知，而已知的只有少数个样本点及样本点的值（xk,yk），通过这些(xk,yk)拟合出另一个函数g(x)(比如可利用多项式待定系数),使得g(x)与f(x)曲线重合程度越高越好（比如除了函数值yk本身相等以外，还可以利用一阶导或二阶导）。如果实际情况不好用一个函数表示，还可以将其分段，每个段的区间上存在一个g(x),通过分段函数表示f(x).

而样条插值的定义就是

假设有n+1个不同的节点x_i

https://upload.wikimedia.org/math/0/5/6/056533e7701bc2da7f20dd111b4baa20.png

以及n+1个节点值y_i，我们要找到一个n阶样条函数

https://upload.wikimedia.org/math/d/3/8/d38ca9ae6ef5c663dc0c352b7dfce7c4.png

其中每个S_i(x)都是一个k次的多项式。

所以样条插值首先是分段表示的，并且每段都是多项式表示。

如果数据点之间直线连接，就是线性样条插值，结果样条是一个多边形（奇怪，为什么不是折线呢？是否一定要闭合才行？）

定义：

线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。

从代数的角度来看，每个S_i都是一个如下

https://upload.wikimedia.org/math/c/b/0/cb08afd6af744a98dc3e9187ac79d761.png

的线性函数。 样条在每个数据点都必须连续，即

https://upload.wikimedia.org/math/0/3/8/0380c97aeae9a337820b441af0c4ca8a.png

我们很容易得到

https://upload.wikimedia.org/math/8/a/f/8af3b6e18ac117f04926f627da6b0137.png

https://upload.wikimedia.org/math/8/d/3/8d3879487b3b776fd1a975839633997a.png

所以以上论述成立。

上式从几何上好理解，代数上看，x-xi-1左边的系数其实就是斜率。

二次样条如下定义：

二次样条插值可以构建为

https://upload.wikimedia.org/math/c/9/6/c96a8af0e03d47ab5db485f5468f7f48.png

通过选择https://upload.wikimedia.org/math/9/7/7/977782615e54462c805f44648c6a14cf.png，然后用递推关系就可以得到系数：

https://upload.wikimedia.org/math/5/c/f/5cf86f40d10c1842ac10099aa4ff23ee.png

从代数上看，多项式x升为二次，分母的2应该与x2次求导后的2互相抵消有关，应该还有更具体的数学推导。

三次和导数那部分也不是很理解，有时间好好学学《离散数学》吧