§2.2建立概率模型教学设计

                     --------西安市第八十九中学   楚利平

	摘要：在本节课的教学设计中，充分体现了数学核心素养中的数学应用意识，数学建模思想，数学抽象能力，体现了数学的文化价值，在教学过程中，以学生为主体，体现了学生的主体地位和教师的主导地位。

 

 

 

 

 

课题：北师大版必修三第三章第2.2建立概率模型

授课班级：高二文科9班

一、教材的地位和作用

本节课是高中数学必修三第三章概率的第二节古典概率模型的第二课时，是在随机事件的概率之后，几何概率模型之前，学生对古典概率模型的特点有了初步的认识，对于同一个实验，建立不同的概率模型，培养学生发散思维能力，让学生体会数学文化价值，进一步深入的理解古典概率模型，为其它概率的学习奠定基础，加深对概率和随机事件的理解，体会随机事件和确定事件的不同，有利于解释生活中的一些问题。

二、学情分析：高二年级九班，文科班学生，数学基础整体偏弱，其中有二十多名学生数学基础较差，优点在于学生听讲还比较认真，学习态度比较端正，因此在教学设计中，必须抓好基本概念，帮助学生理清概念内涵脉络，低起点，小步走，异步达标，对于培养优秀学生要通过课后训练来逐步实现， 因此在课后配备古典概率模型核心素养检测试题。

三、教学目标

1.  知识与技能（1）进一步正确理解古典概率模型的两大特点，能从实际问题中识别和抽象出古典概率模型。（2）会用列举法计算一些随机事件的基本事件及其发生的概率，进一步掌握古典概率模型的概率公式 （3）会根据实际问题建立适当的概率模型解决简单的实际问题。

2.  过程与方法（1）通过掷骰子问题的分析以及例2的学习，经历对同一个问题从不同的角度分析，建立不同的古典概率模型，感知应用数学解决问题的方法，发展学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。（2）通过模拟实验解决摸奖公平问题的过程，转化为例2用古典概率模型来解决问题，探究数学解决问题的方法。（3）对于同一个实际问题，通过不同角度的思考，建立不同的概率模型，使问题的解决不断地简化，发展学生的发散思维能力，体验求简意识，发展学生批判性思维的能力。

3.  情感态度价值观：通过本节课的学习，增强学生数学建模意识，树立学生数学应用意识，体会数学的应用价值与社会价值。

4.  本节课程内容涉及的核心素养和数学文化：本节课的引入以生活中的抓阄摸奖为素材让学生体会数学源于生活，数学文化根植于我们的生活，本节课涉及到了数学建模意识（古典概率模型），数学应用、数学抽象和数学逻辑推理等。

5.教学重点：针对同一个问题，从不同的角度考虑，建立不同的古典概率模型

      【确立的依据】根据本节课教材的内容安排和设计而确立的。

四、教学难点：对于同一个实际问题，建立不同的概率模型

【确立的依据】建立概率模型，本身就是学生的一个难点，对于同一个实际问题，如何引导学生从不同的角度思考，建立不同的古典概率模型，树立求简意识和批判性思维，就更加困难了，因此确立上述难点。

五、教学方法： 探究式教学法

    【确立的依据】学生对于古典概率模型已经有了初步的认识，具备了探究的基础，通过师生互动，提高学生课堂的参与度，激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效率。

六、教学用具，多媒体教学设施，PPT，和一枚骰子。

七、教学过程 （以下老师用T表示，学生用S表示）

（一）温故知新、引入课题

 

T:同学们，前面我们学习了随机事件的概率，古典概率模型的两个特点和古典概率模型的概率计算公式，哪位同学给大家复述一下古典概率模型的两个特点和概率计算公式？

S：古典概率模型的两个特点

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次实验只出现其中的一个结果；

(2)每个实验结果出现的可能性相等。

S: 在古典概率模型中,基本事件出现的概率= .

随机事件A出现的概率=

T:回答的很好。

【设计的目的】做好前后知识的衔接，起到温故知新的目的

T：同学们还记得生活中的概率这节课抓四个阄确定两件奖品的问题吗？先抓的人中奖率一定大吗？我们是用什么方法来研究这个问题的？

S:还记得，采用了完全相同的两个白球和两个黑球进行分组模拟实验得到的，其中两个白球代表奖品，通过模拟实验得出结论中奖率与抓阄先后无关。

T：回答的非常到位。我们采用了分组模拟实验，试验次数越多，得到的结论越准确。但试验得到的结论有时有随机性，数学在解决问题时总是希望能得到理论的支持，本节课我们将采用完全相同的两个白球和两个黑球通过建立不同的概率模型来研究这个问题。在研究问题之前，大家先讨论一下这个问题。

 【设计意图】埋下伏笔，激发学生的求知欲，承上启下，将概率统计解决问题的两种方法呈现给了学生，模拟实验和理论分析，引导学生的思路转入新课

（二）激发兴趣、探究新知

T：老师手中拿一枚骰子，任意撒出去，出现的可能结果有哪些？

S：考虑向上的点数，出现的可能结果有1,2,3,4,5,6等6种结果，其中任意一种结果的可能性都是 。

T：我们还能不能换一个角度思考这个问题呢？

【设计意图】以问题驱动，激发学生的学习兴趣，打开学生的思路

S：如果考虑点数为奇数还是偶数的话，那只有两种结果，向上的点数为奇数或者偶数，这两个结果出现的可能性相等，它们出现的概率都是  。

T：回答的非常棒。

T：下面以小组为单位讨论：如果我还需要结果为 ，同学们还有那些创意呢？（引导学生互动思考讨论，小组合作学习。）

【设计意图】以问题驱动，穷追不舍，继续引导学生从多角度思考问题

S：我们可以考虑点数“点数不超过3”和“点数不小于3”这两种情况，它们出现的几率也是均等的，所以两个事件的概率都是 。

T:选取的角度很好，我们为你点个赞。谁还有不同的想法呢？

【设计意图】继续以问题驱动，穷追不舍，打开学生思路

S:因为每一个点数向上的概率都是 ，所以我们可以把任意三个点数组合为一个基本事件A，余下的三个点数作为一个基本事件B，这样事件A、B出现的可能性相等，概率都是 。

T:very  good.同学们如果我想要撒一次骰子，出现三个基本事件，它们的概率都是 ，那有将如何构造基本事件呢？（引导学生互动思考讨论，小组合作学习。）

【设计意图】以问题驱动，引导学生进行发散性思维思考问题，激发学生的探究能力和意识。

S：根据上面同学的思路，我们可以把1,2,3,4,5,6进行均分为三组，每组两个数形成一个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则在每次试验中每个事件出现的概率都是 。

T：同学们如何评价他的创意呢？

S：这个思路是正确的。

T：还有没有其它的创意和想法呢？（引导学生互动思考讨论，小组合作学习。）

S：我可以把骰子的相对的面涂成同一个颜色，这样骰子六个面共有三种颜色，在抛撒骰子的过程中，每个颜色向上出现的概率相等都是 。

T：回答的非常棒。通过上面的讨论，我们可以得到这样一个基本事实，在建立概率模型时，把什么看作一个基本事件（即一个试验的结果）是人为规定的，我们只要求：每次实验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数有限，并且它们的发生是等可能的，那就构成一个古典概率模型。

【设计意图】通过上面学生对于撒骰子问题的探究，使学生进一步理解古典概率模型的特点，体会基本事件是人为规定的，只要符合古典概率模型的特点就可以，为下面探究例2做好铺垫，打开了学生的思路，老师及时进行归纳总结，把学生分散的思路收回来，加深对古典概率模型的理解，为下面问题的探究做好了铺垫。

（三）例题精讲、建立概率模型、融会贯通

T:同学们，接下来我们思考探究前面的问题。课本135页

例2：口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外形状完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球，试计算第二个人摸到白球的概率。

【分析一】：我们需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸出白球的可能结果数，为此考虑用列举法列出所有可能结果（也叫树形图）（学生板书，老师点评）

解法1 用A表示事件“第二个人摸到白球”。我们把2个白球编号为1,2，,2个黑球也编号为1,2。于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，用下面的树形图直观地表示出来。从图可以看出来，所有结果共计24种，第二个人摸到白球的结果有12种，由于球除颜色外完全相同，所以24种结果出现的可能性是完全相同的 ，因此属于古典概率模型。

 

 

 

 

 

因此，第二个人摸到白球的概率  。

【设计意图】利用树形图列举所有的实验结果，是学生必学掌握的基本方法，也是一种常用方法，它体现了数学的直观性，是数学的基本核心素养之一，要求学生板书树形图。同时对于试验要判定是否为古典概率模型，规范学生的书面表达。

【反思总结】同学们，两个白球和两个黑球，从数学的角度可以看作两类元素，分别有若干个，进行一个排队，可以求出某个元素在某个位置的概率。（此处体现数学抽象性的核心素养）

T:同学们能否据此设计出一个试题呢？（引导学生互动思考讨论，小组合作学习，进行发散性数学思维，培养学生的创新意识。）

这里会出现课堂生成性素材…。

T：同学们思考讨论一下共享单车中小黄车密码锁的问题，经常有一些小孩随机的按密码，有时意外的打开了，我们考虑一下开锁的几率有多大？能否随意的打开共享单车的密码锁？

S：打开锁的几率为 ，我认为不能随意打开锁，这里面有法律和道德方面的问题

T:回答的到位，我们以后不能随机的打开共享单车的锁。

【设计意图】，把数学中的问题和现实生虎结合起来，可以让学生体会数学的应用价值，通过讨论，能否随意打开共享小黄车的锁，教育学生遵规守法，起到数学育人的目的，把教学和育人有机的结合起来。

【分析二】我们要计算第二个人摸到白球的概率，通过解法1的启示，后面两个人摸球对于第二个人摸球没有影响，因此我们可以建立新的概率模型，只考虑前两个人的摸球情况，使得实验的结果变得少一些，使问题处理变得简便些。（据此，大家思考如何处理？把学生的思路引向深入。）

解法2 因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们只考虑前两个人摸球的情况。前两个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可以用树形图列举出来。

 

 

 

这个模型的结果只有12种，由于球除颜色外形状完全相同，所以12种结果出现的可能性是完全相同的 ，这个模型属于古典概率模型。在上面12种结果中，第二个人摸到白球的结果有6种，因此“第二个人摸到白球”的概率

.

【设计意图】利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少为12种简化了问题，有助于培养学生发散性思维和批判性思维能力。

【分析三】我们再换一个角度分析问题，因为口袋里的4个球除颜色外形状完全相同，因此对2个白球不加区分，对2个黑球也不加区分，这样建立的概率模型的所有结果数也会减少。利用树形图列举出所有的结果只有6种，而且这6种结果出现的可能性都相等，这个模型属于古典概率模型，其中底2个人摸到白球的结果有3种。

因此“第二个人摸到白球”的概率

.

【设计意图】由于两个白球和两个黑球没有区别，所以摸球时只考虑球的颜色，使得问题极大的简化，树形图结果由24种较少到了6种，高度的体现了数学建模和数学抽象性的核心素养。

【分析四】由于是求第2个人摸到白球的概率，因此我们可以只考虑第2个人摸球的情况，他可能摸到4个球中的任何一个，这4个球出现的可能性是相同的，因此这个模型是古典概率模型，其中第2个人摸到白球的情况有2种。

解法4：只考虑第2个人摸球的情况，他可能摸到4个球中的任何一个，这4个球出现的可能性是相同的，因此这个模型是古典概率模型，其中第2个人摸到白球的情况有2种。

因此“第二个人摸到白球”的概率

.

小结提高：

（1）从上面的4种解法我们可看到，对同一个问题，从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概率模型来解决，而所得到的古典概率模型的所有可能结果越来越少，问题的解决变得越来越简单。

（2）每一种解法有各自的特点.解法1列出了实验的所有结果，利用这个模型可以计算出4个人依次模球的任何一个事件的概率，如“第一个人和第四个人摸到2号白球”的概率,它的缺点在于有5个球或6个球时基本事件数马上变为120种或者720种太复杂了(有兴趣的同学可以自己学习排列组合知识去解决问题，也简单一些)；而解法4可以推广到一般化：现有除颜色外形状完全相同的a个白球，b个黑球，求第k（k ）此摸到白球的概率。 。

【设计意图】通过四种解法，建立四种古典概率模型，培养学生发散思维的能力和数学建模的核心素养；及时归纳总结和反思，渗透数学抽象思维的核心素养，树立学生批判性数学思维的能力。

【思考交流，拨云见日】

T:请同学们思考一下，计算第k（k=1,2,3,4）个人摸到白球的概率，得到的结果说明了什么问题？

S:老师，根据解法四，我们可以得到这样一个基本事实，四个人无论摸奖次序如何，中奖概率是一样的，从理论上解决了摸奖又先后，概率都一样的问题。

（四）本节课小结、总结提炼

T：同学们，请反思一下本节课你学到了哪些知识，有哪些收获和体会？涉及到哪些核心素养？

1.本节课的核心内容进一步掌握和理解古典概率模型的特点和概率计算公式的应用。

2.了解概率统计处理实际问题的两种方式：模拟实验或者建立概率模型从理论上加以分析解决。对于一个实际问题，可以根据需要建立不同的概率模型，反过来，有很多不同的问题，我们也可以归结为同一个模型来解决，这是一个问题的两个方面，前面是发散思维，后面是归纳概括抽象思维，体现了数学的抽象性和数学建模意识。

3.进一步理解数学源于生活，体会数学的应用价值与社会价值，体会随机现象与确定关系的差异。

4.本节课的内容涉及到的核心素养有数学建模、数学抽象、数学直观性。

（五）课堂练习、巩固提高

1.  银联卡的密码由六位数构成，某人忘记了最后一位数字，则他随即输入一个数字，密码正确的概率是_______________。

2.  已知x，y∈{0，1，2，3，}，P(x，y)是坐标平面内的点，点P在x轴上方的概率_____________。

3.  把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为(    )

A．1        B．             C．             D．

4.  这里请同学们讨论这样一个问题，一枚均匀的硬币连续掷两次，有（正，正）、（正，反）、（反，正），（反，反）四种情况，这是一个古典概率模型；如果只考虑两次抛掷向上的面是否相同，那么可以认为是样的结果只有两个：“向上的面向相同”，“向上的面一正一反”，这两个结果也是等可能的，模型也是古典概率模型；而把出现“2次正面“，”2次反面”，“一次正面一次反面”当做基本事件时，模型就不是古典概率模型了，为什么？

5.  小军、小燕和小明是同班同学，假设他们三人早上到校先后的可能性是相同的。

（1）   事件“小燕比小明先到”的概率是_____________.

（2）   事件“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率是___________。

 

（六）作业布置、课后延伸

  作业:P158页：5,7题及核心素养监测试题

（七）板书设计

 

§2.2建立概率模型
一、古典概率模型的特点	例2解法一     解法二	解法三     解法四	小结; PPT展示