《直线与平面垂直的判定》教学设计

设计者:西安市第八十九中学楚利平、数学高级教师，西安市中小学学科带头人

版本：北师大版

模块：必修二第一章立体几何初步

课题：§6.1直线与平面垂直的判定

授课班级：西安市八十九中学高2019届5班

一、教学目标

1.知识与技能

①直线与平面垂直的定义；

②归纳出直线与平面垂直的判定定理；

③会用图形语言，符号语言描述直线与平面垂直的关系，会进行简单线面垂直问题的证明。

2.过程与方法

①通过“直观感知”，“操作确认”引导学生画出空间直线与平面垂直关系的图形，以及

在归纳出直线与平面垂直的判定定理的过程中探索几何证明方法，进一步培养

和提升学生的空间想象能力和几何推理论证能力。

②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及提升

学生的归纳、推理能力和 类比迁移的学习能力。

3.情感态度价值观

①通过“直观观察”,“操作确认”直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的判定定理

的过程，初步体会垂直关系在生活中的广泛存在，增强学生对数学与生活联系的认识，体

会数学的应用价值与文化价值。

②通过垂直关系的探究和应用，引导学生用联系与转化的观点解决问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感．激励学生敢于尝试，独立思考，提高学生数学素养。

4.教学重点：直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的判定定理及其简单应用。

5.教学难点：直线与平面垂直的判定定理的归纳，定理的理解和初步应用。

6.核心素养：数学想象能力，数学抽象能力和逻辑推理能力及符号、图形语言的表达能力。

7.教育教学方法：“问题驱动，高效互动”的双动教学模式

8.学生学习方法：小组合作、交流探究、师生互动、听讲练习，小结巩固。

9.教学用具：多媒体教学设施。

二、学情分析

    学生前面学习了简单的几何体，直观图、三视图，空间图形的基本关系与公理，学习了空间直线与平面的平行，空间平面与平面的平行关系，具备了一定的空间想象能力和几何推理论证能力，学生数学基础较好，对数学课的兴趣较浓，但是数学书面表达能力缺乏规范性，探究能力较弱。

三、教学过程

步骤1.直线与平面的位置关系有那些种类？如何用图形和符号语言来表示？日常生活中

你见到最多的直线与平面的位置关系有哪些？其中哪些位置关系较特殊？举例说明。

学生：直线与平面的位置关系有三种，线在面内，直线与平面相交，直线与平面平行。

学生全体在练习本上画图形和用符号语言表示上述位置关系。

【设计意图】归纳直线与平面的位置关系，通过问题驱动，引导学生复习回顾直线与平面的位置关系，为建构直线与平面的垂直做铺垫，激发学生的学习兴趣和求知欲。

步骤2.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象， 利用幻灯片大屏幕播放学校周一升

国旗的画面、学校三思亭，直立的松柏等图片，引导学生归纳出直线与平面垂直的位置关系。

【设计意图】认识到数学来源于生活，高于生活，直线与平面垂直的位置关系在现实生活中无处不在，激发学生的探究能力和意识。

学生：老师，前面我们学习了直线与平面平行的位置关系，刚才的图片给人的感觉都是直线与平面垂直。

老师：对，我们本节课研究的核心问题就是直线与平面垂直的定义和判定。

步骤3.利用三角板放在墙角，使三角板的直角C紧贴墙脚，直角边AC与墙缝重合，旋转另一边BC,在转动过程中使BC紧贴地面，这时可得AC与地面垂直。据此，你能提炼出直线与平面垂直的定义吗？

    学生：小组交流，相互讨论。

【设计意图】引导学生通过观察，相互讨论，直观感知，操作确认直线与平面垂直。

步骤4.你能提炼出直线与平面垂直的定义吗？请用文字语言描述直线与平面垂直的定义。老师板书：

定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面

垂直。

【设计意图】归纳提炼出直线与平面垂直的定义，发展学生的数学语言表达能力和归纳概括能力。

步骤5.用图形语言来表示直线与平面的垂直。

如右图，把直线 画成与表示平面的平行四边形的横边垂直。

    符号语言记为：

【设计意图】发展学生的符号语言和图形语言表达能力。

步骤6.定义辨析：学生讨论交流回答以下问题。

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？

（3）我们能否通过直线与平面的垂直来证明直线与直线的垂直呢？

学生分小组交流讨论，老师适时对学习有困难的学生进行点拨。

【设计意图】通过学生相互讨论，发展学生的学习交流能力，加深学生对定义的理解，

为引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理做铺垫。

步骤7.如何判定直线与平面的垂直呢？观察下面两个长方体中直线a与直线b、c的位置关系及a与平面 的位置关系。

 

 

 

①由图一可知:当直线a与平面α内两条相交直线b、c都垂直时，可得

②由图二可知:当直线a与平面α内两条不相交直线b、c都垂直时，a与平面α不垂直。

学生观察图形，分组交流，归纳直线与平面垂直的判定定理。

【设计意图】引导学生直观确认直线与平面垂直的条件，归纳直线与平面垂直的判定定理，

培养学生交流合作能力，发展学生数学归纳推理能力和语言表达能力，提升学生的数学素养。

步骤8.直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

 

图形语言：       符号语言:

步骤9：学生讨论交流判定定理的条件是什么？结论是什么？用途是什么？如何用？

学生：小组合作，交流讨论，相互分享结果，然后老师总结:定理的条件是

定理的结论是 ；用途就是用来判定直线与平面垂直的；在具体应用时，若条件不足，

需要根据具体情境作对应的辅助线。

【设计意图】此处设计始终体现以学生为中心的教育理念，在学生已有的认知基础上进行

设问和引导，关注学生的认知过程，注重学生的思维品质和心理认知的发展。重视讨论、交流和合作能力的培养，重视对问题主动探究习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个体差异和发展层次，使不同的学生都所有发展，体现因材施教的原则。

步骤10. 直线与平面垂直判定的应用

例1.如图，已知四边形ABCD为菱形，直线PA⊥平面ABCD 。

求证：直线BD⊥平面PAC。

分析：要证直线BD⊥平面PAC，需要证明直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线，由菱形

的性质可得BD⊥AC，再由直线PA⊥平面ABCD可得直线BD⊥PC，从而使问题获解。

证明：∵PC⊥平面ABCD, 

BD⫋平面ABCD

∴PC⊥BD

又∵ABCD为菱形 

∴BD⊥AC                           

PC∩AC=C

∴BD⊥平面PAC

学生交流讨论，小组合作，代表上台板书。老师点评，再用幻灯片展示规范解答，并小结此类问题的通解，渗透算法的思想。

  【设计意图】让学生熟悉直线与平面垂直的判定定理的应用，发展学生的几何推理能力和空间想象能力，规范学生的书面表达形式。

例2.求证如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，

那么另一条也垂直于这个平面。

已知： , 求证： 。

  分析：对于文字语言叙述的命题，首先要根据题目的内容画出相应的图形，然后再根据图形用数学符号语言写出对应的已知条件和求证的结论，最后分析论证。本题要证直线m垂直于平面 ，若利用直线与平面垂直的判定定理证明，需要证明直线m垂直于平面 内的两条相交直线，没有直线，需要做两条相交直线，创造条件应用定理；若利用直线与平面垂直的定义，需要证明直线m与平面 内的任意一条直线垂直，则在平面内任意做一条直线然后再具体证明。

证法一：在平面 内做两条相交直线a、b.

∵ ⊥    a⫋

 m⫽

  m⊥a                         

同理m⊥b,

且     

 

证法二：设a是 内的任意一条直线

∵ 

∴

∴    ∴

学生交流讨论，老师适时点拨，根据学生的讨论情况确定教学的方案，做好课堂生成性素材的预案，学生板书，老师点评小结，并用大屏幕展示规范解答。

【设计意图】引导学生创造性地应用定理和定义证明直线与平线面垂直问题，培养学生做辅助线的能力，发散思维能力、逻辑推理能力和几何论证能力，经历数学语言转换过程，体会数学语言的多样性和符号语言的简洁美。

四、课堂检测                                

1．下列命题中正确的个数是(　　)

①如果直线 与平面α内的无数条直线垂直，则 ⊥α；

②如果直线 与平面α内的一条直线垂直，则 ⊥α；

③如果直线 不垂直于α，则α内没有与 垂直的直线；

④如果直线 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直

A．0       B．1        C．2      D．3

2．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形    C．钝角三角形     D．无法确定

3.如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，

且PA =PC PB =PD 。

求证：PO⊥平面ABCD。

证明思路：要证直线PO⊥平面ABCD，需要证明PO垂直平面内的两条相交直线。

证明：    ∵PA=PC,

O是AC的中点

∴PO⊥AC

同理PO⊥BD

又∵AC∩BD=O

∴PO⊥平面ABCD

【设计意图】复习巩固本节课所学知识，对于教育教学效果进行检测反馈，对学生的学习效果和行为进行评价。

五、小结

1.理解掌握直线与平面垂直的定义。

2.理解掌握直线与平面垂直的判定定理。

3.会用判定定理和线面垂直的定义证明简单的线面垂直问题。

4.本节课的核心素养：数学抽象思维能力，直观想象能力，逻辑推理能力。

5.涉及的数学思想方法有转化与划归思想，空间思维能力和逻辑推理能力。

六、作业：课本42页A组4,5题。

教学反思

本节课的教学设计体现以下几点特色：

①在整个教学设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，注重学生思维品质和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，突出学生对问题探究习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，在教学实施过程中，对于分组交流时注意学生个性特点的互补，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。

②通过精心设计的探究性问题引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养探究问题的能力，提升学生思维的层次。在解决问题的过程中，激发学生的研究兴趣，培养学生科学的理性精神，体会交流、合作和竞争等现代意识，充分展现班级文化精神“在竞争中合作，在合作中发展”的理念。

③ 在教学的设计过程中，考虑到学生的实际，特意地设计了一些铺垫和引导，既巩固旧有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位，符合建构主义教学原理。多层次、多角度展开对概念与方法的探究与剖析，由此加深对概念的进一步研究，符合新课标必须重视基本概念，基本定理的来龙去脉的精神，从注意教师的“教”，转向关注学生的“学”。通过师生高效互动，生生有效互动，培养学生自主学习的能力，探究问题的能力，符合我校实施的“问题驱动，高效互动”的教学模式。

④内容设计上突出知识点整合与拓展，技能演练上突出解题规范，强化过程分析，突出分析法在解决问题中的实践与应用，着力培养学生数学思维的深刻性，批判性，和发散思维的数学素养，既强调了学生的学，也突出了教师的主导地位。

⑤本节课在教学实施的过程中，学生表现良好，回答问题踊跃，在证明问题的过程中，给学生留一点思考问题的时间，允许学生交流讨论，最后由小组代表上台板书，其中刘立坤，南皓予板书规范，在学生书写完成之后，老师点评，再用幻灯片通过大屏幕展示完整的论证过程，同时引导学生归纳此类问题的解决方法，把算法的思想渗透在整个教学中，符合新课改的理念。在例二的教学过程中，学生只会用判定定理证明，这时老师不失时机的引导学生进行发散思维，和学生一起用直线与平面垂直的定义证明命题，并比较两种证明方法的优缺点，使学生形成批判的数学思维方法。