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(2013-08-26 08:27:53)
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§5.5 非线性系统强迫振动
5.5.1 系统问题研究
非线性单自由度系统的受迫振动是非自治系统中一种振动类型。是非线性系统在外加干扰力作用下的运动。为了更好地研究受迫振动，对非自治系统作一简单分类。按激励的方式，可分为正弦激励、周期激励和非周期激励；按激励的来源，可分为外激励——受迫振动和内激励——参量激励振动；按激励的频率，可分为单频激励和多频激励；按系统的非线性特点，可分为带平方非线性、带立方非线性和自振系统的受迫振动；按振动的性质，可分为非共振、主共振和非主共振（包括超谐波共振、亚谐波共振和组合共振、联合共振等）；按能源与系统状态的关系，可分为理想能源系统和非理想能源系统。这些特点与线性系统有明显的区别。
5.5.2 通解问题
单自由度系统的受迫振动，主要讨论两种理想能源系统在周期性干扰力作用下的受迫振动。即
其中μ为粘性阻尼系数，ω0为线性系统固有频率，K为干扰力力幅，它们都是常数，ω为干扰力的频率，ω<<1为小参数。
其实，这两种典型方程都可归结为如下形式
其中 为非线性函数。
为已知时，方程（5.5.3）的解x(t)就唯一地确定了。当然方程（5.5.3）可能有各种解：各种周期解或非周期解，主要关心的是各种周期解。主要目的是用各种近似方法求方程的各种周期解，并讨论解的一般性质。由此可见，固有频率不再是非线性系统研究的唯一结果，重心放在求解方程的研究上，对于结果，则应更仔细分析，以期获得更多的力学特性信息。
1。无阻尼达芬方程和逐次逼近法
无阻尼达芬方程为
目的是求出达芬方程的周期解。为此，将方程变为
把 代入方程（5-2）的等号右边，并利用三角公式
得到一阶近似解方程
上式等号右端第一项会产生久期项。为此，令
或
称为（5.5.9）为方程（5.5.5）的频率响应方程。于是，方程（5.5.8）变为
从而我们求得一阶近似解
作类似的迭代，把x1代入方程（5.5.6）的等号右端。从而得到二阶近似解x2的微分方程，并通过消去久期项和求解方程便得到更精确的频率响应方程和二阶近似解
其中，b,c,d,e均为a和 的函数，它们分别为
从式（5.5.9）或（5.5.12）可知，非线性系统受迫振动频率是振幅a的函数，即 。在
平面上画出（5.5.9）式所表示的频率响应方程，为此，令
上式第一式是无阻尼自由振动频率响应方程，其 曲线如图5-13（a）所示，称它为骨架曲线。图中 直线对应于现象弹簧；
是一支向右弯的双曲线，对应于硬弹簧； 是一支向左弯的椭圆曲线，对应于软弹簧。
(a)
(b)
(c)
(d)
图5-13
把图5-13（a）和（b）叠加，就得到了无阻尼达芬方程受迫振动的频率响应曲线。对硬弹簧如图5-13（c）所示，对软弹簧如图5-13（d）所示。
习惯上，我们用|a|与
为坐标轴来绘制频率响应曲线，即将图5-13的下半平面反射到上半平面。图5-13（a），（b），（c）分别表示 ， ，
时频率响应曲线。
从图5-13可以看出，非线性系统频率响应曲线可以通过将线性系统频率响应曲线向右弯（硬特性），直到K=0的直线弯成双曲线，向左弯（软特性），使K=0的直线弯成椭圆弧来得到。
2．有阻尼达芬方程
本节我们求有阻尼达芬方程为：
求它的周期解。为此，先将右端项展开
其中 。显然有 。因此，方程（5.5.16）可写成
以下用谐波平衡法求方程（5.5.1）的周期解。为此，设方程的零阶近似解为
若把干扰力力幅K看成是已知的，干扰力的相位 是待定因素，即
为已知，比值H/G为待定。将一阶近似解（5.5.18）代入方程（5.5.17）的两边，并利用公式
得
从上式可见，若
，而G=H=0即干扰力力幅K=0，则振幅a=0。这说明，对于耗散系统，若没有外力作用，除静止状态外，不可能存在周期解。
把（5.5.19）二式平方相加，便得到有阻尼达芬方程的频率响应方程
显然，当 时，它就退化为无阻尼频率响应方程。频率响应特性曲线如图5-14所示，其中图（a），（b），（c）分别表示 和
时频率响应曲线。实线表示不同干扰力力幅下的频率响应曲线。
设干扰力力幅K=常数，式（5.5.20）对振幅a求一阶导数，并令 ，得到频率响应曲线上具有铅直切线的点的轨迹方程
当 时，得到两个方程
(a)
(b)
(c)
图5-14
当 且不太大时，但干扰力力幅小于某个值时，频率响应曲线上没有铅直切线的点。
3．突跳现象
利用非线性系统受迫振动的频率响应曲线，可以说明非线性系统受迫振动的一些重要性质。
图5-15是 和 时达芬方程的频率响应曲线。如果干扰力力幅不变，而让干扰力频率缓慢地变化，现在来看受迫振动的振幅 |a|
的变化。
图5-15
对 的情况。设
从一个相对小的值开始逐渐增加，则振幅|a|沿响应曲线也逐渐增加，一直到达点1，因在该点响应曲线有铅直切线，当频率继续增加时，振幅突然从点1跳到响应曲线较低分支的点2上，然后从点2开始沿响应曲线逐渐下降。反过来，如果
从一个相对大的值开始逐渐减小，则振幅|a|沿响应曲线逐渐增加，直到点3，在点3处响应曲线又有铅直切线，当频率继续减小时，振幅突然跳到响应曲线较高分支的点4上，然后从点4开始，振幅沿响应曲线逐渐下降。
当 时也有类似的突跳现象，只不过跳远出现在相反方向，即当 增加时有一个上升的跳跃，当 减小时，有一个下降的跳跃。
如果 ，即对无阻尼受迫振动，从图可知，在 或
时，都可能有一个上升的跳跃，而都没有下降的跳跃。但对实际的物理系统，阻尼总是存在的，任何微小的阻尼，都会使振幅产生下降的跳跃。
从图还可看出，发生上升跳跃和下降跳跃的 值不相同，于是1-2-3-4形成一个回路。如果当
逐渐增加（减小）到某一特定值时发生跳跃，则 逐渐减小（增加）过程中，跳跃的发生，总落后于前一跳跃的特定值，也就是说，
超过这个特定值后，才发生方向相反的跳跃，这种落后现象称为滞后，突跳和滞后现象是非线性系统受迫振动的重要特征之一。
在频率响应曲线上，两个跳跃之间形成一个滞后环。在这个滞后环内，振幅 |a| 是频率 的多值函数，即对应于一个
值，有三个不同的 |a| 值。当 变化时，|a|
沿着曲线中最高和最低的曲线分支变化，而不可能沿中间这段曲线变化。换句话说，图中的1-3曲线段对应的周期解是不稳定的（不可实现的）。频率响应曲线上具有铅直切线的点就是不稳定区域的边界。由此可知，周期解不稳定的条件是
即图中虚线所包围的区域内，响应曲线所代表的周期运动都是不稳定的。
若不改变干扰力的频率，而缓慢地改变干扰力的力幅K时，也可观察到类似的突跳现象，|a|–K曲线如图6-6所示。若K从点1开始逐渐增加，|a|沿曲线也缓慢地增加，直到点3，当K继续增加时，振幅
|a|
由点3突然跳到点4，然后又继续沿曲线增加。反之，当K从点5开始减小时，|a|也沿曲线减小，直到点6，然后又突然跳到点2，之后又继续沿曲线减小。则2-3-4-6形成一个滞后环。滞后环内3-6分支所代表的周期解是不稳定的。
对具有正阻尼的线性受迫振动系统，稳态解与初始条件无关。但对非线性受迫振动系统，稳态解和初始条件有很大关系，当存在多于一个稳定的稳态解时，初始条件决定了系统在物理上可实现哪一个稳态解。图给出了达芬方程在参数平面上解的稳定性区域，其中
为激励与响应的相位差，从图中可知，p1和p2是两个稳定的焦点，分别代表两个稳定的周期解，而p3是鞍点，代表不稳定的周期解。阴影区域是p1的吸引域，其余部分是p3的吸引域，它们被两条分界线分开。当初始条件落入p1的吸引域时，可产生大幅稳态振动；若初始条件落入p3的吸引域，则产生小幅稳态振动。
通过上述讨论，可以看到非线性系统受迫振动与线性系统受迫振动有很大的区别：
（1）非线性系统受迫振动稳态解的振幅和频率与初始条件有关，而线性系统受迫振动的振幅和频率与初始条件无关。
（2）非线性系统受迫振动的振幅具有多值性，即在一定条件下，同一个干扰力频率对应着几个稳态周期运动，物理上实现哪一个周期运动，取决于初始条件。
（3）不是所有的周期运动都是稳定的。在频率响应图上，只有在具有铅直切线的点的轨迹之外的部分，周期解才是稳定的，是可以实现的。因此，对非线性系统受迫振动，研究周期解的稳定性是非常重要的。
（4）存在着突跳和滞后现象。当干扰力频率逐渐增加或减小时，振幅开始沿响应曲线逐渐变化，当到达临界点时，振幅突然减小或增大，然后又沿响应曲线变化；并且在频率减小或增加的变化中，跳跃点总是滞后前一个跳跃点，形成一个滞后环。
（5）线性系统下的固有频率和共振的定义不能直接用于非线性系统。因为，非线性系统的振幅频率和振幅与初始条件有关，且没有一个干扰力的频率
能使受迫振动的振幅 |a| 趋于无穷大，即 |a| 总是有限的。在非线性系统中，共振可定义为当干扰力频率
在派生系统固有频率附近变化，而受迫振动振幅很大时。发生共振（主共振）。
在以后各节中， 还会看到非线性系统受迫振动的其它重要特性，
即不仅存在着主共振，还存在着超谐波共振、亚谐波共振和组合共振等现象。
4．主共振 超谐共振 亚谐共振
组合共振
（1）主共振响应
设达芬方程为
式中阻尼力、恢复力和干扰力为同阶小量。当干扰力频率在线性固有频率 附近变化时 ，即
，所发生的共振称主共振。为此，引入调谐参数 ，则
把以上两式代入方程（5.5.21），并令等式两端 同次幂系数相等，得
令方程（5.5.23）的解
其中
其中 为对T1的导数。为消除x1中的久期项，必须令
即
解方程（5.5.25），求得 ，并代入（6-5-7）式就求得一次近似解。令
则方程（6-5-9）化为自治方程
对于稳态振动， 。于是方程（5.5.26）
将以上二式平方相加，便得到频率响应方程
或
其相位角为
解出 和，则得到一次近似稳态周期解
（2）非共振响应
当激励频率 远离线性系统固有频率
时为非共振情况。设为硬激励，即干扰力的力幅K不为小量，因此方程（5.5.21）为
设其解如前形式，则得到渐近方程组
设方程（5.5.28）的解为
其中 。代入方程（5.5.29），于是
其中 为对T1的导数， 。消久期项，得
积分上式，可求得一次近似解
因为 ，所以齐次方程通解随时间 衰减为零，稳态解只有受迫振动一项。
（3）超谐波共振
根据经验，当系统中包含三次方非线性恢复力，且当干扰力频率接近派生系统固有频率的1/3或1/9，…时，频率为 或
，…的超谐波响应将变得很大，称这种现象为超谐波共振。设我们研究 的超谐波共振，为此令
这时式（5.5.30）式中的 项也要引起久期项，因为
将其代入式（5.5.30），消除久期项，得
令
解方程（5.5.31），求出振幅 和相位角 ，就求得一次近似解
把 称为干扰力激起的自由振动，即超谐波共振响应，而 为受迫振动方程。
对于稳态解，有 ，则方程（6-5-26）化为
将以上二式平方相加，得到频率响应方程
或
（4）亚谐波共振
当系统中含有三次方非线性恢复力时，在一定条件下可能产生干扰力频率接近于3倍、9倍、……线性系统固有频率的亚谐波共振。我们研究
的亚谐波共振。为此，令 则
设运动微分方程仍为（5.5.27）的形式，此时，方程（5.5.30）式中含
将其代入方程（5.5.30），并消除久期项，得
其中 为对T1的导数， 。解方程（5.5.31），便得到亚谐波共振时的近似解
其中第一项为干扰力激起的自由振动，即亚谐波共振响应，第二项为受迫振动部分。对于稳态响应， ，于是
以上二式中消去 ，得到1/3亚谐波频率响应方程
由此我们可以得到1/3亚谐波存在条件。由（5.5.32）式可知，a=0 或
令
所以
所以，若a有实数解，必须p>0，即
p>0，即
也即
因为q>0，所以仅当p>0，且p2≥q时，才会有非平凡解，即有
因此，对于给定的A，1/3亚谐波解的存在条件为
对于给定的 ，1/3亚谐波解的存在条件为
在参数平面 上，1/3亚谐波的存在区域的边界为
其中a＞0。
可见只要满足上述条件，尽管存在着阻尼，解的自由振动部分并不消失，且非线性性质使自由振动频率精确地等于干扰力频率的1/3。
（5）组合振动
设非线性系统受到两个不同频率的周期性干扰力作用，其方程为
其中 为常数，不失一般性，设 。仍设为硬激励，即 。
设解为
则有
令方程的解为
其中
把x0代入方程（6-5-46），整理后得
（5.5.33）
仔细分析方程（5.5.33）式可知，在双频激励下，除存在单频激励中出现过的各种共振外，还会出现组合振动，如
对于多频激励，还可能同时存在两个以上的共振条件，即同时存在超谐共振和亚谐共振或同时存在超谐共振和组合共振等。我们不妨称之为联合共振。在本例双频激励下，最多同时出现两个共振条件，它们分别为
其中对②和③ 的情况，可以处理为单频非稳态激励受迫振动。
下面我们研究 组合共振。设
在方程（5.5.33）中， 也要产生久期项。
代入方程（5.5.33），消去久期项，即得
令
则方程（5.5.34）简化为
对于稳态解， ，则
二式平方相加，得到该组合共振的频率响应方程
对于联合共振 ，引入调协参数 。则
于是
代入方程（5.5.33），消去久期项，得
其中 为对T1的导数， 。解出方程（5.5.35），求得 和 ，就求得了一次近似解。
由方程（5.5.35）可见，如果稳态解 存在，则必有 等于常数。于是
因此，稳态解存在的条件是 ，即 ，换句话说，仅当激励是周期性激励时才会产生稳态运动。
对于稳态运动，由方程（5.5.35）得到
其中 。由此解出 和 ，则一次近似稳态周期解为
由此可以看出，非线性项调整自由振动频率，并使之能精确地与干扰力频率公约，从而产生周期响应。
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