1. 边长是1的正方形内部任置五个点，则其中必有两个点，他们之间的距离小于或等于sqrt（2）／2；
2. 设m是取定的一个自然数，任取m＋1个整数，则其中至少有两个整数，其差是m的倍数。
3. n^2+1个整数序列｛a1,a2,a3,....a(n^2+1)}，此处对一切i,j,ai!=aj，那么必存在项数为n+1的单调上升或单调下降的子序列。
4. 完全图k6(6个顶点且每两个点都连接有一条边的图)，对他的边用红，蓝两种颜色任意涂色，则必存在同色边的三角形。

[定理]　r ( a , b )＝ r ( b , a )；r ( a , 2 )＝a
[证] 　K_r(a , b )的边红蓝２着色，有红K_a或蓝 K_b．将红蓝２色对换，就有红K_b或蓝K_a．
　  设r( a , b )＝r ，K_r的边任意红蓝２着色红蓝互换后仍是K_r的边的２着色，由r(a,b) 的定义，有红K_a或蓝K_b．再红蓝对换恢复原图有红K_b或蓝K_a．

[例]　K₉的边任意红蓝２着色，有红三角形或蓝K₄． 红蓝对换后，仍有红三角形或蓝K₄，再对换一次，回到原来的着色方案， 有蓝三角形或红K₄．
　　    第二个等式容易看出．K_a红蓝２着色若不全红(红K_a)， 则必有一条蓝边．

[定理]　当a , b ≥２时， r ( a , b )≤ r ( a －1 , b )＋ r ( a , b－1 )
证   　对r ( a －1 , b )＋ r ( a , b－1 ) 个顶点 的完全图红蓝２着色．任取其中一点 v，有
d_r(v) + d_b(v) = r( a －1 , b ) + r( a , b－1 )－1,从而可得判断树如下．
http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_1.gif

http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_2.gif

[定理]  http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_3.gif
http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_4.gif

2.Ramsey数的推广

　　若将２着色改为k 着色，同色K_a或同色K_b改为同色 http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_5.gif, i = 1 , 2 , … , k．即得Ramsey数r( a₁ ,a₂ ,… ,a_k)． 对于给定的正整数 a_i ( a_i≥2) ，i = 1 , 2 , … , k．存在最小正整数r． 对K_r的边用k中颜色C_i( i = 1 , 2 , … , k)任意着色． 则存在 i ，出现全C_i色的http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_5.gif ．(即边都是C_i色的a_i个顶点的完全图）； 这个最小正整数 r 用 r (a₁ , … , a_k)表示．

有 r(a₁ , a₂ , … , a_k)≤ r(a₁ , r( a₂ , … , a_k) )

[证]　设r(a₁ ,r(a₂ , … ,a_k))=p， r(a₂ , … , a_k)=q；
对K_p的边２着色，出现第一色http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_6.gif或第二色K_q， 用n－1中色对K_q的边着色，至少出现i色的a_i点完全图， i = 2 , … , n．对K_p的边n 着色，将后n－1中色看作同一种色， 出现第一色http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_6.gif或另一色(n－1种色看作另一色）的K_q．即出现第i色 http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_5.gif ，i = 2 , … , n. 故 r(a₁ , a₂ , … ,a_k)≤p

[例]　r(3 ,3 ,3)=17
[证] 　设三色为r ,b ,g．则对K₁₇的任一顶点v ,有
　d_r(v) + d_b(v) + d_g(v) = 16；
因http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_7.gif
故任一顶点与其他顶点的连线中，至少有６条同色．不妨设d_r(v₁)≥6, (v₁v₂)…(v₁v₇)都是红边．
从而可得如下判断树．
http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/3/3_11.pic/3_11_8.gif