最近在微信群里看到一个关于数鸡蛋的数学题，是这样的：

一筐鸡蛋：

1个1个拿，正好拿完。

2个2个拿，还剩1个。

3个3个拿，正好拿完。

4个4个拿，还剩1个。

5个5个拿，还差1个。

6个6个拿，还剩3个。

7个7个拿，正好拿完。

8个8个拿，还剩1个。

9个9个拿，正好拿完。

问框里最少有多少鸡蛋？

 

解法一：

（一）对已知条件的分析

这框鸡蛋，从1个1个拿到9个9个拿，分别有不同的余数，这九个条件当中，有些是可以化简掉的。分析如下：

1个1个拿，正好拿完，这个条件可以忽略，因为对任意正整数个，都是符合的；

2个2个拿，剩1个，说明这框鸡蛋个数为奇数；

“3个3个拿，正好拿完”条件，已包含在“9个9个拿，正好拿完。”条件里，因为能被9整除的正整数，必定能被3整除；

类似的，“2个2个拿，还剩1个”条件，也已包含在“4个4个拿，剩1个”条件当中，更进一步，前两者也包含在“8个8个拿，还剩1个”条件中，因为被8除余1，则也符合被4和2除余1；

“5个5个拿，还差1个。”等价于“5个5个拿，还剩4个”

综上所述，题目的已知条件可以化简为：

5个5个拿，还剩4个。

6个6个拿，还剩3个。

7个7个拿，正好拿完。

8个8个拿，还剩1个。

9个9个拿，正好拿完。

 

（二）已知条件的进一步化简

根据（一）部分的分析，鸡蛋个数一定是63的倍数（63是7和9的最小公倍数），且符合除以5余4，除以6余3，除以8余1的条件。

即鸡蛋个数为形如5k+4，且6m+3且8n+1的正整数（且能被63整除）

而形如“5k+4，6m+3且8n+1”的正整数的通式为120A+9,（其中120为5、6、8的最小公倍数），同时这个数又要能被63整除。

于是问题归结为解不定方程：63B=120A+9

（上述等式中63B即为鸡蛋的个数，找到符合条件正整数B，也就得到了题目的答案）

 

（3）解不定方程

63B=120A+9

等式两边同时除以3，即21B=40A+3

40A+3=10*（4A）+3，则21B的个位数必定为3，而B的个位数也必须是3。

于是令B=10C+3，于是21（10C+3）=40A+3

展开并化简得：4A=21C+6

A=5C+（C+6）/4 即A=5C+1+（C+2）/4

以上A、C均为正整数，当C等于2或6或10……有解，则C必定为形如4D+2的正整数

令C=4D+2

于是A=5（4D+2）+1+D+1=21D+12

鸡蛋总数的通式为X=120A+9=120(21D+12)+9=2520D+1449

即X=63（40D+23）（D为非负整数。当D=0时，就是本题的最小解1449。

 

解法二：

（一）对已知条件的分析

这框鸡蛋，从1个1个拿到9个9个拿，分别有不同的余数，这九个条件当中，有些是可以化简掉的。分析如下：

1个1个拿，正好拿完，这个条件可以忽略，因为对任意正整数个，都是成立的；

2个2个拿，剩1个，说明这框鸡蛋个数为奇数；

“3个3个拿，正好拿完”条件，已包含在“9个9个拿，正好拿完。”条件里，因为能被9整除的正整数，必定能被3整除；

类似的，“2个2个拿，还剩1个”条件，也已包含在“4个4个拿，剩1个”条件当中，更进一步，“4个4个拿，剩1个”条件也包含在“8个8个拿，还剩1个”条件中，因为被8除余1，则也符合被4和2除余1；

“5个5个拿，还差1个。”等价于“5个5个拿，还剩4个”

综上所述，题目的已知条件可以化简为：

5个5个拿，还剩4个。

6个6个拿，还剩3个。

7个7个拿，正好拿完。

8个8个拿，还剩1个。

9个9个拿，正好拿完。

 

（二）根据化简的条件分析求最小解

设鸡蛋个数为X，根据（一）的分析，X必定是63的倍数,于是令X=63M（M为正整数）

再根据“5个5个拿，还剩4个”这一条件，X的个位必定是9，于是M的个位数必定是3，分别用M=3、13、23、33……等去尝试，则可以试出当M=23时，是符合条件的最小正整数，于是X=63*23=1449

 

（3）通解

根据“5个5个拿，还剩4个。

6个6个拿，还剩3个。

7个7个拿，正好拿完。

8个8个拿，还剩1个。

9个9个拿，正好拿完。”这一条件

再求出5、6、7、8、9的最小公倍数，为5*7*8*9，即2520，于是符合条件的通解为

X=2520M+1449（M为非负整数。当M=0时，即为最小解）

 

 

小结：

这类问题涉及主要有与整数相关的知识点，包括同余、最小公倍数、不定方程等。