“分数的初步认识”单元教材分析

[教学目标]

（一）知识与技能

1．借助实物、图形，直观认识几分之一、几分之几。

2．初步认识分数单位。

3．知道分数各部分名称。

（二）过程与方法

1．通过“分蛋糕”、“分纸带”、“分糖果”的等分活动，直观认识“几分之一”，初步认识分数单位。

2．通过对“几分之一”的累积来认识“几分之几”，进一步认识分数概念。

（三）情感态度与价值观

在学习分数的过程中，初步体会数的发展源于生活、生产实际的需要，进而体会数学与日常生活的密切联系，感知数学是有用的。

[教学设计与课时安排]

    关于分数概念，历来为国内外众多数学教育专家所关注，因为分数概念具有多重意义。而关于分数概念的多重意义，有许多不同的说法，简单地来说，分数“p/q（p,q都是正整数）”可以用来表示“把一个整体q等分，这样的p份”，也可以用来表示“除法运算的结果（p÷q）”，还可以表示“两组集合或两个度量的大小比较的结果（p：q）”等。

    《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》明确将分数表示“除法运算的结果”的意义放在初中阶段进行教学，而关于比例的概念也要到初中才出现。因此在小学阶段，分数概念的教学重点是用“p/q（p,q都是正整数）”来表示“把一个整体q等分，这样的p份”的意义。

    《分数的初步认识（一）》是小学阶段关于分数主题的第一部分，主要内容为“借助实物、图形，直观认识几分之一、几分之几”，其余内容放在下一册。

    有关研究指出：分数概念起源于“分”，是用来解决不满一个单位量的量的数值问题。解决的方法是将原单位量加以等分割之后，得到单位分量，再将单位分量重复测量不满一个单位量的量，最后以分割的份数（例如5份），和重复次数（例如2次）的并置，作为被测量的量的指针。

    以测量某线段的长度为例，通常测量者会将一个长度单位（单位量），例如1米，置于该线段上，然后以该线段等于多少个长度单位来表示其长度。但是当线段有剩余，又不满一个长度单位时，就必须把该长度单位等分成适当的小单位（即单位分量），以分成五等分来说，每一等分就是1/5米。如果剩余的部分为小单位（单位分量）的2倍，那么这剩余的线段就是2/5米。

    考虑到《课程标准》的要求和有关分数概念的研究，教材在设计这部分内容时，先通过“分蛋糕”、“分纸带”、“分糖果”的具体操作活动来学习单位分数（几分之一），再通过“几分之一”的累积来学习“几分之几”。

整体与部分

[教学目标]

1．初步认识整体与部分之间的关系。

2．初步体会到整体和部分是相对的。

[教学重点、难点] 整体与部分之间的关系

[教学须知]

    如前文所述，关于分数的教学重点是用“p/q（p,q都是正整数）”来表示“把一个整体q等分，这样的p份”，也就是说，分数被用来表示“整体与部分”之间的关系。因此在学习之前，有必要先进行有关“整体与部分”之间一般关系的教学。此外，分数教学常用的有两类模型。

    1．连续量模型，一般包括“圆形模型”（如蛋糕、匹萨等）和“线形模型”（如绳子、纸带等）。前者由于在分割方面较少干扰，适合教学；后者因为与测量有关，也很重要。两者皆应发展。

    2．离散量模型（即对象呈离散的状态，一个一个独立地呈现）没有通用的模型。考虑到离散量分数概念相对困难，教材中出现得较晚，一般是通过简单分数概念的学习后才引入。在这里以比较具体直观的一群小鸭子来展现离散情况下的整体和部分关系，在以后的学习中，教师可用小圆片等替代。

[教学建议]

1．教师可以先让学生观察课页上的插图，随后进行“把整体分成部分”和“把分出来的部分重新组合成整体”这两项活动。学生通过口头表达“谁是整体？谁是部分？”，从活动中初步体会到整体与部分之间的关系。

2．教师还可以根据本学校学生的生活、学习环境等具体情况选取具体的圆形、线形以及离散物，使学生进一步体会整体与部分之间的关系。考虑到整体与部分关系的相对性，在让学生表达“谁是整体，谁是部分”的教学活动中，教师应同时展示一组对象（包括“整体”与“部分”都在内），而不宜只展示其中的一个对象让学生说出这是整体还是部分。

几分之一

[教学目标]

1．借助分纸带的活动，初步认识分数单位。

2．借助实物、图形，直观认识几分之一。

3．初步体会数的发展源于生活、生产实际的需要。

[教学重点] 通过“分蛋糕”、“分纸带”、“分糖果”等活动，直观认识几分之一。

[教学难点] 在使用分数前先判断是否等分。

[教学须知]

    等分活动是分数的基础，然而等分概念有着广泛的含义。简单地说，等分就是把一个整体分成几个相同的部分。可是“相同”是就某一方面而言的。

    由此可见，“相同”与否是相对于某一属性而言的。因此，等分活动也是针对某一属性进行的。它不仅包括针对“面积”这一属性的等分，还包括针对“长度”、“数量”等属性的等分。因此，等分的概念对于刚学分数的三年级学生来说较难掌握，因此在课页上不出现“等分”的概念，而一般地说成“分成同样大小的…”、“分成同样长的…”等，之后的课页中统一地使用“平分”来代替“等分”的说法，因为“平分”的说法是学生比较熟悉的，同时也含有“公平地分”的意思，学生容易掌握。

    课页中选用圆形蛋糕做面积等分割的活动，因为圆形蛋糕分割活动的结果，都是同一形状，儿童可以用重叠的方式，来检验等分割活动的完成。建议在最初学习分数时，不使用正方形或长方形的物体进行等分割活动。因为由于分割的方式不同，可能产生等积异形的分割结果。由于儿童刚接触分数，较难理解“这些不同形状的分割结果都可以用同样的分数来表达”。

    有关研究发现，很多小学三年级学生在处理分数问题时，只注意到整体被分割成几块，而没有注意到每一块是否相等。因此建议在教学时，要经常提醒学生先判断是否是等分，使学生养成在使用分数前首先判断其是否等分的习惯，以逐渐把握分数 “整体—部分”的意义。

    从皮亚杰等人的研究来看，学生单位分数（分子为1的分数）概念是较先发展的分数概念，学生在处理与面积有关的分数问题时，先学会1/2，其后是1/4，1/3…；在处理与长度有关的分数问题时，先会处理1/2，其次是1/4，1/3…。另有专家指出，分数教学应尽量利用儿童对平分与公平的直觉，在学习上应从最容易的“对半平分”（一半）、“对分再对分”（四分之一）开始，在这种情况，儿童也比较容易操作。

[教学建议]

本节建议分3课时完成。

1． 题1

① 通过小胖和小丁丁平分蛋糕的情境，引入“一半”就是二分之一的说法。在语言上，教师可以通过“整体平分成2份，2份中的1份”来引入1/2。

② 结合具体的生活场景，例如某一个小朋友的生日到了，小胖、小丁丁、小巧和小亚四个好朋友一起吃蛋糕，这时就产生了如何把蛋糕平分成4份的问题。抓住儿童对于平分就是要公平、公正的直觉来判断小巧的分法不是平分。对照小胖的分法，同时强调每个人分到的蛋糕应该一样大，来初步认识等分概念。

    考虑到“一半可以写成1/2”，这时候很自然地要问：蛋糕平分成四份，每一份怎么表示呢？（或者问：是几个蛋糕？）让儿童就此问题进行讨论，有些儿童会提出是“半个蛋糕的一半”、“分成四块里面的一块”等表示方法，甚至有儿童会提出“四分之一”，这时候都应该对照“二分之一”的说法来说明：这是一个蛋糕平分成四份中的一份，可以用“四分之一”来表示。同时结合小免子的总结再次强调四分之一的含义并给出四分之一的写法。

    刚引入分数时，同时强调“…是这个蛋糕的1/4”和“…是1/4个蛋糕”这两种说法是有益的。前者正确体现了部分与整体之间的关系；后者的叙述方式对于学习分数概念也有非常重要的意义：

⑴  有助于消除把分数当成是两个数的错误观点

    有研究表明，儿童在学习分数时遇到的第一个困难在于分数的表示，他们错误地认为2/3代表了两个整数。举个例子来说，有些儿童在学习分数的加减时会得到2/3＋1/4=3/7的错误算式，产生错误的原因在于他们把分数符号2/3和1/4看成了4个整数。因此，让儿童熟悉“…是1/4个蛋糕”这样的说法，有助于将“1/4”内化为如同常用的“1，2，3……”一样的数。

⑵  能为以后学习假分数提供方便。

    因为在此阶段，儿童所学习的分数意义仅涉及“整体—部分”的意义，也就是说都局限于真分数的范围，而使用“…是1/4个蛋糕”、“…1/3米”的说法可以突破这一局限，为以后学习假分数做好铺垫。

③  对折圆纸片的活动。

    每折一次，都要求儿童能够说出“圆纸片被折成了相同大小的几个部分，每一部分都是圆形纸片的几分之一，是几分之一个圆纸片。”并能正确读、写分数数词。在说、读、写的时候要把折的圆纸片展开，这时儿童能够体会到1/4，1/2，1/8所显示的整体与部分之间的关系。在此活动的基础上，儿童认识到：把一个整体平分成几份，每一份就是整体的几分之一。并指出这些数都是分数。

④  用分数表示各个图形中的涂色部分。

    这4个小题都是关于面积性质的等分，反映了整体—部分之间的关系。当儿童写出分数之后，教师可以再问所写的分数表示什么含义，强调得到分数的过程中应表现出“等分的活动”、“分成几份”和“这样的一份”三个要素。

⑤  该题的判断活动一来可以检验及加深儿童对于等分概念的认识，同时也让儿童认识到：等分是“分数”的前提，只有当整体分成了相同大小的几个部分，每个部分才是整体的几分之一。

    第一小题与课页内容有关，学生马上能够意识到“用1/4表示是错误的”，然后由此出发去找出问题的关键：这样分不是平分。

    第二小题可以在第一小题的提示下完成。由第一、二小题可以让学生体会到：平分是分数的基础，不是平分就不能用分数来表示。

    第三小题考察了学生对于“整体平分成的份数为分数符号里的分母”的学习。

    第四小题的结论是正确的，这四个小题都可以使用折纸的方法来验证是不是平分。

2．题2

①  1米长的纸带分成同样长的3段后，每一段的长度是1米的1/3。这是在小熊猫的提示下，将1米长的纸带看作整体，而把关于长度的几分之一的概念也统一到前面已学过的“整体平分成几份，每一份都是整体的几分之一”，复习了已经学习的分数知识，同时指出1米的1/3就是1/3米，建立起1/3米的具体含义。由于最初儿童对于分数的概念建立在具体的或心理上的操作上，同时考虑到三等分在操作上是有难度的，建议教师演示分割的过程，在此活动过程中要时时询问是否是等分。

②  学生在学习分数时，往往错误地把分数看成独立的两个数，因此在比较分子都为1的分数过程中，会受到分母的影响，产生错误策略：分母越大的，分数也就越大，这可能是受到自然数有关内容的影响。在分数学习的初期，建议利用分数的意义以及关于“分的人越多，每个人分到的就越少”的生活常识，来认识分数单位，同时加深对分数意义的认识。

    先让儿童练习关于长度的几分之一的认识及读、写。之后，通过具体直观的图形来比较1/4，1/5，1/6，1/10的大小。在比较过程中，建议先要求儿童说明1/4米，1/5米，1/6米，1/10米的具体意义再进行比较。如果儿童能够说明这些单位分数的具体意义，他们应该能够推知这些单位分数的大小。在小熊猫：“你发现了什么？” 的指引下，让儿童进行讨论，以增加对单位分数的初步认识，同时初步掌握对于分子都为1的分数的大小比较。

3．题3

① 让儿童进行讨论，教师要强调[分完]、[公平]（分配吃的东西的情境下，儿童最能注意到公平性）或[分的一样多]，使儿童认识到离散量情况下的等分概念。通过对等分概念的讨论，儿童可以完成将12颗糖3等分的活动。并由此联想到在“分蛋糕”、“分纸带”这两个课页中的相关内容，并将已有分数概念“几分之一”迁移到离散量的情况下。把“几分之一”的概念统一到：整体平分成几份，每一份都是整体的几分之一。

② 从两个不同的方面对离散量分数概念的意义进行了练习。

几分之几

[教学目标]

1．借助实物、图形，直观认识几分之几。

2．知道几个几分之一就是几分之几，发展分数的概念。

3．认识分数各部分名称。

4．初步感知整体的守恒性（即分割成的所有部分合起来依然是整体）。

[教学重点] “几分之几”的认识

[教学难点] “几分之几”的认识；分子、分母相同的分数与1之间的关系

[教学须知]

    以单位分量（由单位分数表示的量）为被计数单位，利用单位分量的累积来建立真分数数词的意义与序列是学习真分数的有效手段，因为通过单位分量，可以使真分数的意义、计算与整数的含义、计算有效连结。并在建立真分数数词序列后，再利用真分数数词序列，来探讨各个分数数词所描述的量，是由几个单位分量合成的，从而进一步认识分数概念。

    值得指出的是，对此阶段的小学生而言，在用单位分数累积来得出真分数时，不宜脱离具体的分数模型。

    关于分子等于分母的分数与1之间的比较，以[五分之五]与[1]为例。此阶段的学生大多认为[五分之五]与[1]并不相同，[1]是强调一个对象的整体，而[五分之五]是强调这个整体已经过等分割再合成的结果，即表示将一个整体等分割成五份后，再将这五份合起来的结果，在[五分之五]形成的过程中，已留下分割与合成的活动痕迹，故而[五分之五]与[1]并不相同，只是满足等价的关系。这个阶段学生大多在面对[五分之五]与[1]时，无法在心理上否定等分割再合成活动的历程，而视[五分之五]与[1]相同。因此教材建议在该课页内，先透过具体的数量比较情境，来帮助学童确认5/5米与1米所代表的“长度”的相等；7/7 串与1串所代表的“数量”的相等，再使用“5/5=1”和“7/7=1”这两个式子来表示这种相等关系。

[教学建议]

1． 题1

小熊猫提问：“把长为1米的纸带平分成同样长的3段，其中2段长多少米？”引起儿童思考。可以利用语言上“平分成3份中的2份”引出2/3的表示。同时说明2段是“1米的2/3”以及“2/3米”，并建立“2个1/3米”和“2/3米”之间的联系：2/3米就是2个1/3米的累积，从而初步认识到1/3作为单位分数的重要意义。

2．题2

题目给出了几分之几的两种不同说法。小丁丁说“一个整体平分成几份，这样的几份就是几分之几”使学生认识到3/4米的含义；小胖通过观察得出结论：3/4米就是3个1/4米。使儿童更清楚地认识到单位分数对于真分数的重要意义，并基本得到了真分数是由几个单位分数所组成的结论。并于此时给出分数的定义，说明分数的分母、分子及分数线的记号和含义。

2． 题3和题4

题目分别从“蛋糕”、“糖果”两个方面讲述了“几分之几”意义的两种说法：①一个整体平分成几份，这样的几份就是几分之几；②一份是几分之一，几份就是几份之几。

3． 题5

从“用分数表示涂色部分”以及“按各图下面的分数给各图涂色”两个方面对“圆型”、“线型”和离散量三个分数模型的意义进行了练习。需要注意的是，第①小题所填分数的分母都是8，第②小题所填分数的分子都是5。由小兔的话进行了总结，指出了分数分母、分子的意义。

4． 题6

题目分别从“线型” 模型以及离散模型，分别得到“5/5米=1米”、“7/7串=1串”，初步认识到：当分数的分母和分子相等时，这个分数所代表的量与1（单位量）所代表的量是相等的。然后再使用5/5=1、7/7=1这两个式子来表示这样的相等关系。

5． 题7

从圆型、线型、离散三个分数模型对“几分之几”的意义进行了练习，而这三个题都是对照“几分之一”中的相应内容编写的，使儿童能够充分认识到几分之几与几分之一之间的关系。